Encontre o trabalho realizado pela força
de
a
sobre cada um dos seguintes caminhos:
(c) O caminho
que consiste no segmento de reta de
a
seguido pelo segmento de
até (1, 1, 1)
(c) O caminho
Passo 1
O enunciado pede o trabalho
da força
ao mover uma partícula de
até
seguindo primeiro o segmento
e depois
. O conteúdo envolvido é integral de linha de campo vetorial e o uso do Teorema Fundamental para gradientes (campos conservativos).
Passo 2
Mostramos que
é conservativo, pois
e todos os pares de derivadas mistas coincidem. Logo existe
tal que
. Integrando
em relação a
e ajustando constantes, obtemos
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental dos Gradientes, a integral de linha depende só dos pontos finais, isto é