Encontre o trabalho realizado por F sobre a curva no sentido de t crescente.
\mathbf{F}=2 y \mathbf{i}+3 x \mathbf{j}+(x+y) \mathbf{k}
\mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}+(\operatorname{sen} t) \mathbf{j}+(t / 6) \mathbf{k}, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}=2y\,\mathbf{i}+3x\,\mathbf{j}+(x+y)\,\mathbf{k} e a curva está dada por
\mathbf{r}(t)=(\cos t)\,\mathbf{i}+(\sin t)\,\mathbf{j}+\Bigl(\tfrac{t}{6}\Bigr)\,\mathbf{k},\quad 0\le t\le2\pi.
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial por parametrização, usando \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) e d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização para obter o elemento de arco:
\mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(\cos t,\;\sin t,\;t/6\bigr) =(-\sin t,\;\cos t,\;1/6).

Passo 3

Expressar \mathbf{F} ao longo da curva, isto é \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\bigl(2\sin t,\;3\cos t,\;\cos t+\sin t\bigr).

Passo 4

Formar o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t):
\begin{aligned} \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' &=2\sin t\;(-\sin t)+3\cos t\;(\cos t)+(\cos t+\sin t)\;\tfrac{1}{6}\\\ &=-2\sin^2t+3\cos^2t+\frac{\cos t+\sin t}{6}. \end{aligned}
Simplificando os termos em \sin^2t e \cos^2t:
-2\sin^2t+3\cos^2t =\bigl(-1+\cos2t\bigr)+\Bigl(\tfrac{3}{2}+\tfrac{3}{2}\cos2t\Bigr) =\frac12+\frac52\cos2t.
Logo o integrando é
\frac12+\frac52\cos2t+\frac{\cos t}{6}+\frac{\sin t}{6}.

Passo 5

Escrever a integral do trabalho:
W=\int_{0}^{2\pi}\Bigl(\frac12+\frac52\cos2t+\frac{\cos t}{6}+\frac{\sin t}{6}\Bigr)\,dt.

Passo 6

Integrar termo a termo:
\int_{0}^{2\pi}\frac12\,dt =\pi, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos2t\,dt=0, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt=0, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=0.
Portanto todos os termos oscilatórios somam zero, sobrando W=\pi.

Resposta

\pi

Exercícios relacionados