Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas.
y^{2}=k x^{3}
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
y^{2}=k x^{3}
onde k é um parâmetro real. A pergunta é: encontrar as trajetórias ortogonais dessa família — isto é, determinar a família de curvas que intersecta cada curva dada em ângulo reto. As informações relevantes são: a equação paramétrica y^{2}=k x^{3} e que precisamos de curvas que sejam ortogonais a essa família.
Passo 2
O que são trajetórias ortogonais e como vamos usar isso (explicação didática): duas curvas são ortogonais num ponto de interseção se as retas tangentes às curvas nesse ponto são perpendiculares. Se a inclinação (coeficiente angular) da primeira curva naquele ponto é \displaystyle m=\frac{dy}{dx}, então a inclinação da curva ortogonal é \displaystyle m_{\perp}=-\frac{1}{m}. Por que? Porque duas retas com inclinações m_1 e m_2 são perpendiculares quando m_1 m_2 = -1. Portanto o procedimento padrão é:
obter a derivada \displaystyle \frac{dy}{dx} da família original (essa derivada dá a inclinação das tangentes da família original),
eliminar o parâmetro k usando a equação da família,
formar a equação diferencial para as trajetórias ortogonais substituindo \displaystyle \frac{dy}{dx} por -1/(\text{derivada original}),
resolver essa equação diferencial para obter a família das trajetórias ortogonais.
Passo 3
Diferenciando implicitamente a equação dada em relação a x. Partimos de
y^{2}=k x^{3}.
Derivando membro a membro em relação a x:
\frac{d}{dx}(y^{2})=\frac{d}{dx}(k x^{3}).
No lado esquerdo, por derivação de uma função composta, obtemos 2y\frac{dy}{dx}. No direito, k é constante (parâmetro), então a derivada de k x^{3} é k\cdot 3x^{2}. Assim:
2y\frac{dy}{dx}=3k x^{2}.
Isolando \displaystyle \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{3k x^{2}}{2y}.
Passo 4
Eliminando o parâmetro k: da equação original temos
k=\frac{y^{2}}{x^{3}}.
Substituindo esse k na expressão de \displaystyle \frac{dy}{dx}:
Portanto a inclinação das tangentes da família dada é
\frac{dy}{dx}=\frac{3y}{2x}.
Passo 5
Encontrando a inclinação das trajetórias ortogonais: como explicado antes, a inclinação m_{\perp} deve ser o negativo do recíproco da inclinação acima. Assim
Essa é a equação diferencial que as trajetórias ortogonais satisfazem.
Passo 6
Resolver a equação diferencial obtida. A equação
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{3y}
é separável. Reescrevo separando variáveis: multiplico ambos os lados por y\,dx:
y\,dy = -\frac{2}{3} x\,dx.
Agora integro os dois lados:
\int y\,dy = \int -\frac{2}{3} x\,dx.
Calculo as integrais explicitamente: \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}. Do lado direito, \int -\frac{2}{3}x\,dx = -\frac{2}{3}\cdot\frac{x^{2}}{2} = -\frac{x^{2}}{3}. Incluo a constante de integração C:
\frac{y^{2}}{2} = -\frac{x^{2}}{3} + C.
Passo 7
Arrumando a constante e escrevendo a família final de forma mais simples: multiplico ambos os lados por 6 para eliminar denominadores:
3y^{2} = -2x^{2} + C',
onde C' = 6C é uma constante arbitrária. Reorganizando:
2x^{2} + 3y^{2} = C'.
Essa é a família das trajetórias ortogonais: curvas do tipo elipse centradas na origem (ou degeneradas quando C'=0), parametrizadas pela constante C'.