Considere o circuito elétrico abaixo formado por um resistor, um indutor e uma fonte de tens
ao externa ligados em série. A bateria gera uma diferença de potencial de
volts, enquanto a resistência
é de 100 ohms e a indutância
é de 0,5 henrys. Sabendo-se que a queda de potencial em um indutor é igual a
encontre a corrente
em cada instante
, se
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a corrente
em função do tempo para um circuito em série formado por uma fonte, um resistor e um indutor, com a condição inicial
. Dados fornecidos:
e a queda de potencial no indutor é dada por
. A tarefa é obter
para todo
, usando a relação entre tensões no circuito série.
Passo 2
Montamos a equação diferencial usando a Lei das Malhas (KVL): a soma das quedas de potencial em
e em
é igual à tensão fornecida pela fonte. Assim:
Substituindo os valores numéricos e lembrando que
constante:
Dividindo toda a equação por
para colocar no formato padrão de primeira ordem:
Calculando os coeficientes:
Portanto a equação padrão é
Passo 3
Vamos resolver a equação linear de primeira ordem
Explicando o método (fórmula e ideia): para uma equação do tipo
usamos o fator integrante
. Aqui
(constante), logo
Multiplicamos a equação original por
:
Observação importante: o lado esquerdo é a derivada do produto
. Ou seja,
Agora integramos ambos os lados em relação a
. A integral do lado direito é simples porque é exponencial:
A integral da esquerda é
. A integral da direita é
onde
é a constante de integração. Assim obtemos:
Dividindo por
(sempre positivo) temos a solução geral:
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Em
:
Logo
. Substituindo de volta:
Passo 5
Interpretação física rápida e lembrete prático para prova: o valor de regime estacionário (quando
) é
. A constante de tempo do circuito é
e o termo exponencial
(observe que
) descreve a subida da corrente do valor inicial até
. Dica para prova: reconhecer a forma
agiliza bastante.