Considere o circuito elétrico abaixo formado por um resistor, um indutor e uma fonte de tens { }^{\text {- }} ao externa ligados em série. A bateria gera uma diferença de potencial de V(t)=10 volts, enquanto a resistência R é de 100 ohms e a indutância L é de 0,5 henrys. Sabendo-se que a queda de potencial em um indutor é igual a L \frac{d I}{d t} encontre a corrente I(t) em cada instante t, se I(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a corrente I(t) em função do tempo para um circuito em série formado por uma fonte, um resistor e um indutor, com a condição inicial I(0)=0. Dados fornecidos:
V(t)=10\\ \text{volts (constante)},\qquad R=100\\ \Omega,\qquad L=0{,}5\\ \text{H},
e a queda de potencial no indutor é dada por L\,\dfrac{dI}{dt}. A tarefa é obter I(t) para todo t\ge 0, usando a relação entre tensões no circuito série.

Passo 2

Montamos a equação diferencial usando a Lei das Malhas (KVL): a soma das quedas de potencial em R e em L é igual à tensão fornecida pela fonte. Assim:
L\,\frac{dI}{dt} + R\,I = V(t).
Substituindo os valores numéricos e lembrando que V(t)=10 constante:
0{,}5\,\frac{dI}{dt} + 100\,I = 10.
Dividindo toda a equação por L=0{,}5 para colocar no formato padrão de primeira ordem:
\frac{dI}{dt} + \frac{R}{L}\,I = \frac{V}{L}.
Calculando os coeficientes:
\frac{R}{L}=\frac{100}{0{,}5}=200,\qquad \frac{V}{L}=\frac{10}{0{,}5}=20.
Portanto a equação padrão é
\frac{dI}{dt} + 200\,I = 20.

Passo 3

Vamos resolver a equação linear de primeira ordem
\frac{dI}{dt} + 200\,I = 20.
Explicando o método (fórmula e ideia): para uma equação do tipo \dfrac{dy}{dt}+p(t)y=q(t) usamos o fator integrante \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Aqui p(t)=200 (constante), logo
\mu(t)=e^{\int 200\,dt}=e^{200t}.
Multiplicamos a equação original por \mu(t):
e^{200t}\frac{dI}{dt} + 200\,e^{200t}I = 20\,e^{200t}.
Observação importante: o lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dt}\bigl(e^{200t}I\bigr). Ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{200t}I\bigr)=20\,e^{200t}.
Agora integramos ambos os lados em relação a t. A integral do lado direito é simples porque é exponencial:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{200t}I\bigr)\,dt = \int 20\,e^{200t}\,dt.
A integral da esquerda é e^{200t}I. A integral da direita é
\int 20\,e^{200t}\,dt = 20\cdot\frac{1}{200}e^{200t} + C = 0{,}1\,e^{200t} + C,
onde C é a constante de integração. Assim obtemos:
e^{200t}I = 0{,}1\,e^{200t} + C.
Dividindo por e^{200t} (sempre positivo) temos a solução geral:
I(t)=0{,}1 + C\,e^{-200t}.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial I(0)=0 para determinar C. Em t=0:
I(0)=0{,}1 + C\,e^{0}=0{,}1 + C = 0.
Logo C=-0{,}1. Substituindo de volta:
I(t)=0{,}1 - 0{,}1\,e^{-200t}=0{,}1\bigl(1-e^{-200t}\bigr).

Passo 5

Interpretação física rápida e lembrete prático para prova: o valor de regime estacionário (quando t\to\infty) é I_{\infty}=\dfrac{V}{R}=\dfrac{10}{100}=0{,}1\\ \text{A}. A constante de tempo do circuito é
\tau=\frac{L}{R}=\frac{0{,}5}{100}=0{,}005\\ \text{s}=5\\ \text{ms},
e o termo exponencial e^{-200t} (observe que 200=1/\tau) descreve a subida da corrente do valor inicial até 0{,}1\\ \text{A}. Dica para prova: reconhecer a forma I(t)=I_{\infty}+(I(0)-I_{\infty})e^{-t/\tau} agiliza bastante.

Resposta

I(t)=0{,}1\bigl(1-e^{-200t}\bigr)\\ \text{A}

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