Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\frac{d y}{d x}=e^{3 x-3 y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial dada. A informação que nos é dada é exatamente:
\frac{dy}{dx}=e^{3x-3y}.
Ou seja, precisamos encontrar a família de funções y(x) que satisfaz essa igualdade para x em algum intervalo.

Passo 2

A ideia da separação de variáveis é isolar todos os fatores que dependem de y de um lado da igualdade e todos os fatores que dependem de x do outro, para então integrar cada lado separadamente. Começamos reescrevendo a função exponencial usando propriedades de expoente:
e^{3x-3y}=e^{3x}\,e^{-3y}.
Substituindo na equação temos
\frac{dy}{dx}=e^{3x}\,e^{-3y}.

Passo 3

Agora fazemos as manipulações algébricas para separar as variáveis. Multiplicamos ambos os lados por e^{3y} e por dx (isso é permitido desde que trabalhemos em intervalos onde tudo faz sentido):
e^{3y}\,\frac{dy}{dx}=e^{3x}
e^{3y}\,dy = e^{3x}\,dx.
Pronto: os termos com y estão no lado esquerdo e os termos com x no lado direito.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int e^{3y}\,dy = \int e^{3x}\,dx.
Para integrar exponenciais do tipo e^{ax} usamos a fórmula \int e^{a t}\,dt = \frac{1}{a}e^{a t}+C, onde a é constante. Aplicando aqui:
\frac{1}{3}e^{3y} = \frac{1}{3}e^{3x} + C,
onde C é a constante de integração (já combinamos as constantes dos dois lados).

Passo 5

Multiplicamos por 3 para simplificar a expressão:
e^{3y} = e^{3x} + C',
onde C' = 3C é outra constante arbitrária. Esta é uma forma implícita da solução geral. Observação importante: o lado direito deve ser positivo para que y seja real quando resolvermos explicitamente (ou seja, e^{3x}+C'>0).

Passo 6

Resolver explicitamente para y: aplicamos o logaritmo natural e dividimos por 3:
y = \frac{1}{3}\ln\bigl(e^{3x}+C'\bigr).
Podemos renomear a constante C' simplesmente por C (já que é uma constante arbitrária). Também vale verificar rapidamente: derivando essa expressão obtemos \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{e^{3x}}{e^{3x}+C} e, usando e^{3y}=e^{3x}+C, isso coincide com e^{3x-3y}, então a solução está correta.

Passo 7

Resumo sobre domínio e constante: a solução geral está bem definida sempre que e^{3x}+C>0. A constante C é arbitrária real; para cada escolha de C obtemos uma solução particular cujo domínio é o conjunto de x com e^{3x}+C>0.

Resposta

y=\dfrac{1}{3}\ln\bigl(e^{3x}+C\bigr)
\text{(forma implícita equivalente: } e^{3y}-e^{3x}=C\text{)}í

Exercícios relacionados