Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial dada. A informação que nos é dada é exatamente:
Ou seja, precisamos encontrar a família de funções
que satisfaz essa igualdade para
em algum intervalo.
Passo 2
A ideia da separação de variáveis é isolar todos os fatores que dependem de
de um lado da igualdade e todos os fatores que dependem de
do outro, para então integrar cada lado separadamente. Começamos reescrevendo a função exponencial usando propriedades de expoente:
Substituindo na equação temos
Passo 3
Agora fazemos as manipulações algébricas para separar as variáveis. Multiplicamos ambos os lados por
e por
(isso é permitido desde que trabalhemos em intervalos onde tudo faz sentido):
Pronto: os termos com
estão no lado esquerdo e os termos com
no lado direito.
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação às suas variáveis:
Para integrar exponenciais do tipo
usamos a fórmula
, onde
é constante. Aplicando aqui:
onde
é a constante de integração (já combinamos as constantes dos dois lados).
Passo 5
Multiplicamos por
para simplificar a expressão:
onde
é outra constante arbitrária. Esta é uma forma implícita da solução geral. Observação importante: o lado direito deve ser positivo para que
seja real quando resolvermos explicitamente (ou seja,
).
Passo 6
Resolver explicitamente para
: aplicamos o logaritmo natural e dividimos por
:
Podemos renomear a constante
simplesmente por
(já que é uma constante arbitrária). Também vale verificar rapidamente: derivando essa expressão obtemos
e, usando
, isso coincide com
, então a solução está correta.
Passo 7
Resumo sobre domínio e constante: a solução geral está bem definida sempre que
. A constante
é arbitrária real; para cada escolha de
obtemos uma solução particular cujo domínio é o conjunto de
com
.