Verifique se a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo
dado. Em caso afirmativo encontre um número c como na conclusão do Teorema do Valor Médio.
(e) Existe alguma função
tal que
e
para todo
?
(e) Existe alguma função
Passo 1
O enunciado pergunta se existe alguma função f, contínua em [0,2] e derivável em (0,2), que satisfaça f(0)=−1, f(2)=4 e f′(x)≤2 para todo x. O conteúdo é o Teorema do Valor Médio, que exige continuidade no intervalo fechado e diferenciabilidade no aberto, e garante um c com f′© igual à taxa média de variação.
Passo 2
Vamos calcular a taxa média de variação de f no intervalo [0,2]:
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Médio, deve existir algum c em (0,2) tal que f′©=2{,}5. Mas isso entra em contradição com a hipótese f′(x)≤2 para todo x. Portanto não é possível ter f′©=2{,}5.
Passo 4
Concluímos que não existe nenhuma função que atenda simultaneamente f(0)=−1, f(2)=4 e f′(x)≤2 em todo [0,2], pois violaria o Teorema do Valor Médio.
Resposta
Não existe tal função, pois o Teorema do Valor Médio exigiria f′©=5/2>2 para algum c∈(0,2), contradizendo f′(x)≤2.