Verifique se a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo I dado. Em caso afirmativo encontre um número c como na conclusão do Teorema do Valor Médio.
(e) Existe alguma função f tal que f(0)=-1, f(2)=4 e f^prime(x) <= 2 para todo x ?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe alguma função f, contínua em [0,2] e derivável em (0,2), que satisfaça f(0)=−1, f(2)=4 e f′(x)≤2 para todo x. O conteúdo é o Teorema do Valor Médio, que exige continuidade no intervalo fechado e diferenciabilidade no aberto, e garante um c com f′© igual à taxa média de variação.

Passo 2

Vamos calcular a taxa média de variação de f no intervalo [0,2]:
f(2)-f(0)2-0=4-(-1)2=52=2,5

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio, deve existir algum c em (0,2) tal que f′©=2{,}5. Mas isso entra em contradição com a hipótese f′(x)≤2 para todo x. Portanto não é possível ter f′©=2{,}5.

Passo 4

Concluímos que não existe nenhuma função que atenda simultaneamente f(0)=−1, f(2)=4 e f′(x)≤2 em todo [0,2], pois violaria o Teorema do Valor Médio.

Resposta

Não existe tal função, pois o Teorema do Valor Médio exigiria f′©=5/2>2 para algum c∈(0,2), contradizendo f′(x)≤2.

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