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Verifique se a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo
dado. Em caso afirmativo encontre um número c como na conclusão do Teorema do Valor Médio.
(a)
Verifique se a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo
(a)
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) na função
no intervalo
. Vamos verificar as hipóteses do teorema (continuidade em
e diferenciabilidade em
) e, se elas valem, encontrar
tal que
.
Passo 2
A função
é contínua em todo
e, em particular, em
. Além disso,
é diferenciável em
e, portanto, em
. Assim, as hipóteses do TVM estão satisfeitas.
Passo 3
Calculamos a taxa média de variação de
em
:
Passo 4
A derivada de
é
. Pelo TVM, existe
tal que
Logo, resolvendo para
obtemos
Passo 5
Só resta checar que
realmente está em
. Como
e
, tudo confere.