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Verifique se a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo I dado. Em caso afirmativo encontre um número c como na conclusão do Teorema do Valor Médio.
(a) f(x)=ln x, I=[1, e]

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) na função f(x)=ln x no intervalo [1,e]. Vamos verificar as hipóteses do teorema (continuidade em [1,e] e diferenciabilidade em (1,e)) e, se elas valem, encontrar c tal que f'(c) = f(e)-f(1)e-1.

Passo 2

A função f(x)=ln x é contínua em todo (0,infty) e, em particular, em [1,e]. Além disso, f é diferenciável em (0,infty) e, portanto, em (1,e). Assim, as hipóteses do TVM estão satisfeitas.

Passo 3

Calculamos a taxa média de variação de f em [1,e]:
f(e)-f(1)e-1 = ln e - ln 1e-1 = 1 - 0e-1 = 1e-1

Passo 4

A derivada de f é f'(x)=1x. Pelo TVM, existe cin(1,e) tal que
f'(c) = 1c = 1e-1
Logo, resolvendo para c obtemos
c = e - 1

Passo 5

Só resta checar que c=e-1 realmente está em (1,e). Como e-1approx1.718 e 1<1.718, tudo confere.

Resposta

c = e-1

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