Encontre a transformação linear pedida:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} que rotaciona todos os vetores num angulo de \theta graus no sentido ANTI-HORÁRIO em torno do EIXO Z.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
\displaystyle T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
que gira todo vetor de \mathbb{R}^3 num ângulo \theta no sentido anti-horário em torno do eixo z.
Vamos usar o fato de que esse tipo de rotação preserva a coordenada z e age como a rotação planar usual no plano xy.

Passo 2

Sabendo que o eixo de rotação é o eixo z, qualquer vetor paralelo a z fica fixo. Em particular, para o vetor canônico
\displaystyle e_3=(0,0,1)
temos
T(e_3) \;=\;(0,0,1)\,.

Passo 3

No plano xy, a rotação anti-horária de ângulo \theta manda um vetor (x,y,0) em
\bigl(x,y,0\bigr)\;\longmapsto\;\bigl(x\cos\theta - y\sin\theta,\;x\sin\theta + y\cos\theta,\;0\bigr)\,.
Em particular, para os vetores canônicos
\displaystyle e_1=(1,0,0) e \displaystyle e_2=(0,1,0), obtemos
T(e_1) = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;0), \quad T(e_2) = (-\sin\theta,\;\cos\theta,\;0).

Passo 4

Como a matriz de T na base canônica tem colunas dadas por T(e_1), T(e_2) e T(e_3), concluímos que
[T] = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

T(x,y,z) \;=\; \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.

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