Encontre a transformada de Fourier de f(x)\) (sem usar a Tabela III da Seção 11.10). Mostre os detalhes.
\(f(x)= \begin{cases}x & \text { se }-1<x<1 \\\\ 0 & \text { nos demais casos }\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a transformada de Fourier de f(x)\), onde \(f\) é a função dada por
\[f(x)=\begin{cases} x & \text{se } -1<x<1,\\[4pt] 0 & \text{nos demais casos.} \end{cases}
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i) } f(x)=x \text{ apenas no intervalo }(-1,1) \text{ e é zero fora dele.}
\text{(ii) } f \text{ é uma função real com suporte compacto em }[-1,1].
As perguntas concretas são: calcular a transformada de Fourier de f\] (a fórmula completa, válida para todo \(\omega) e mostrar todos os detalhes do cálculo.]
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier usando a convenção mais comum (quando o enunciado não fixa outra):
Explicando essa definição de forma didática: F(\omega) é uma função da variável de frequência \omega. Para cada \omega calculamos a integral acima; o fator e^{-i\omega x} mistura as oscilações de frequência \omega com os valores de f(x). Aqui i é a unidade imaginária (i^2=-1).
Como f(x)=0 fora de [-1,1], a integral sobre (-\infty,\infty) reduz-se à integral sobre [-1,1]. Portanto
F(\omega)=\int_{-1}^{1} x\,e^{-i\omega x}\,dx.
Nos próximos passos vou calcular essa integral explicitamente. Vou tratar separadamente os casos \omega\neq0 (onde podemos dividir por \omega) e \omega=0 (que costuma ser um caso limite).
Passo 3
Vou calcular F(\omega) para \omega\neq 0. A integral é
F(\omega)=\int_{-1}^{1} x\,e^{-i\omega x}\,dx.
Para integrar esse produto x\cdot e^{-i\omega x} uso integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes (muito útil na prova): se u=u(x) e v'=v'(x) são funções com derivadas adequadas, então
\int u\,v'\,dx = u v - \int u' v\,dx.
Aqui escolho u=x (então u'=1) e v'=e^{-i\omega x} (então v é uma primitiva de e^{-i\omega x}).
Também é bom verificar que o limite da expressão para \omega\to 0 dá zero, confirmando continuidade:
expansões em série dão \omega\cos\omega-\sin\omega\sim -\dfrac{\omega^{3}}{3}+o(\omega^{3}), então a fração (\omega\cos\omega-\sin\omega)/\omega^{2} tende a 0, e multiplicada por 2i dá 0. Portanto a expressão obtida para \omega\neq0 estende-se por continuidade em \omega=0 com valor 0.
Passo 7
Comentário rápido de verificação (didático): f(x)=x em (-1,1) é função real e ímpar (paridade ímpar em todo \mathbb{R} considerando o zero fora do intervalo). Para uma função real ímpar a transformada de Fourier é puramente imaginária e ímpar; isso bate com a forma F(\omega)=2i(\cdots) (imaginária) e a dependência ímpar em \omega do numerador, então o resultado faz sentido físico/matemático como cheque rápido.