Encontre a transformada de Fourier de f(x)\) (sem usar a Tabela III da Seção 11.10). Mostre os detalhes. \(f(x)= \begin{cases}x & \text { se }-1<x<1 \\\\ 0 & \text { nos demais casos }\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a transformada de Fourier de f(x)\), onde \(f\) é a função dada por \[f(x)=\begin{cases} x & \text{se } -1<x<1,\\[4pt] 0 & \text{nos demais casos.} \end{cases}
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i) } f(x)=x \text{ apenas no intervalo }(-1,1) \text{ e é zero fora dele.}é
\text{(ii) } f \text{ é uma função real com suporte compacto em }[-1,1].éçã
As perguntas concretas são: calcular a transformada de Fourier de f\] (a fórmula completa, válida para todo \(\omega) e mostrar todos os detalhes do cálculo.]

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier usando a convenção mais comum (quando o enunciado não fixa outra):
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Explicando essa definição de forma didática: F(\omega) é uma função da variável de frequência \omega. Para cada \omega calculamos a integral acima; o fator e^{-i\omega x} mistura as oscilações de frequência \omega com os valores de f(x). Aqui i é a unidade imaginária ( i^2=-1).
Como f(x)=0 fora de [-1,1], a integral sobre (-\infty,\infty) reduz-se à integral sobre [-1,1]. Portanto
F(\omega)=\int_{-1}^{1} x\,e^{-i\omega x}\,dx.
Nos próximos passos vou calcular essa integral explicitamente. Vou tratar separadamente os casos \omega\neq0 (onde podemos dividir por \omega) e \omega=0 (que costuma ser um caso limite).

Passo 3

Vou calcular F(\omega) para \omega\neq 0. A integral é
F(\omega)=\int_{-1}^{1} x\,e^{-i\omega x}\,dx.
Para integrar esse produto x\cdot e^{-i\omega x} uso integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes (muito útil na prova): se u=u(x) e v'=v'(x) são funções com derivadas adequadas, então
\int u\,v'\,dx = u v - \int u' v\,dx.
Aqui escolho u=x (então u'=1) e v'=e^{-i\omega x} (então v é uma primitiva de e^{-i\omega x}).
Calculo de v: uma primitiva de e^{-i\omega x} é
v=\int e^{-i\omega x}\,dx = \frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega} = -\frac{1}{i\omega}\,e^{-i\omega x},
válido para \omega\neq 0. Note que 1/(i\omega) = -i/\omega, mas vou manter a forma fracionária até simplificar.
Aplicando integração por partes em \int_{-1}^{1} x\,e^{-i\omega x}\,dx:
F(\omega)=\left[x\cdot\left(-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega x}\right)\right]_{x=-1}^{x=1} -\int_{-1}^{1}\left(-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega x}\right)\cdot 1\,dx.

Passo 4

Agora avalio os termos da expressão do passo anterior passo a passo.
Primeiro o termo de bordo:
\left[x\cdot\left(-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega x}\right)\right]_{-1}^{1} =-\frac{1}{i\omega}\big(1\cdot e^{-i\omega} - (-1)\cdot e^{i\omega}\big).
Dentro do parêntese temos 1\cdot e^{-i\omega} - (-1)\cdot e^{i\omega}=e^{-i\omega}+e^{i\omega}=2\cos\omega. Logo o termo de bordo vale
-\frac{1}{i\omega}\cdot 2\cos\omega.
Segundo termo (a integral restante):
-\int_{-1}^{1}\left(-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega x}\right)\,dx =+\frac{1}{i\omega}\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x}\,dx.
Essa integral é simples: uma primitiva de e^{-i\omega x} já usamos acima, então
\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x}\,dx =\left[-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega x}\right]_{-1}^{1} =-\frac{1}{i\omega}\big(e^{-i\omega}-e^{i\omega}\big).
Note que e^{-i\omega}-e^{i\omega}=-2i\sin\omega. Substituindo:
\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x}\,dx =-\frac{1}{i\omega}\big(-2i\sin\omega\big)=\frac{2\sin\omega}{\omega}.

Passo 5

Agora junto tudo. O primeiro termo (bordo) era -\dfrac{1}{i\omega}\cdot 2\cos\omega. O segundo termo (a integral multiplicada por 1/(i\omega)) é
\frac{1}{i\omega}\cdot\frac{2\sin\omega}{\omega}=\frac{2\sin\omega}{i\omega^{2}}.
Somando os dois termos:
F(\omega)=-\frac{2\cos\omega}{i\omega}+\frac{2\sin\omega}{i\omega^{2}}.
Simplifico fatorando 2/(i\omega^{2}) ou escrevendo de forma mais compacta; uma forma muito útil é juntar em um único numerador:
F(\omega)=2i\left(\frac{\cos\omega}{\omega}-\frac{\sin\omega}{\omega^{2}}\right).
Outra forma equivalente (algumas provas preferem esta) é
F(\omega)=2i\,\frac{\omega\cos\omega-\sin\omega}{\omega^{2}}, \qquad \text{para } \omega\neq 0.
Essas expressões são matematicamente equivalentes; eu prefiro a última pois mostra claramente o fator (\omega\cos\omega-\sin\omega)/\omega^{2}.

Passo 6

Agora trato o caso \omega=0, que é o ponto que exigiu cuidado (divisões por \omega acima não valem diretamente em \omega=0). Calculo diretamente:
F(0)=\int_{-1}^{1} x\,dx.
Como x é função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero, essa integral é zero. Ou calculando diretamente:
\int_{-1}^{1} x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{-1}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
Também é bom verificar que o limite da expressão para \omega\to 0 dá zero, confirmando continuidade:
expansões em série dão \omega\cos\omega-\sin\omega\sim -\dfrac{\omega^{3}}{3}+o(\omega^{3}), então a fração (\omega\cos\omega-\sin\omega)/\omega^{2} tende a 0, e multiplicada por 2i 0. Portanto a expressão obtida para \omega\neq0 estende-se por continuidade em \omega=0 com valor 0.

Passo 7

Comentário rápido de verificação (didático): f(x)=x em (-1,1) é função real e ímpar (paridade ímpar em todo \mathbb{R} considerando o zero fora do intervalo). Para uma função real ímpar a transformada de Fourier é puramente imaginária e ímpar; isso bate com a forma F(\omega)=2i(\cdots) (imaginária) e a dependência ímpar em \omega do numerador, então o resultado faz sentido físico/matemático como cheque rápido.

Resposta

\mathcal{F}\{f\}(\omega)=F(\omega)= \begin{cases} 2i\,\dfrac{\omega\cos\omega-\sin\omega}{\omega^{2}}, & \omega\neq 0,\\[8pt] 0, & \omega=0. \end{cases}]

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