Encontre a transformada de Fourier de f(x)\) (sem usar a Tabela III da Seção 11.10). Mostre os detalhes.
\(f(x)= \begin{cases}x & \text { se } 0<x<1 \\\\ 0 & \text { nos demais casos }\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de f(x)\) definida por
\[f(x)=\begin{cases} x & \text{se } 0<x<1,\\[4pt] 0 & \text{nos demais casos.} \end{cases}
Informações importantes dadas:
f(x)\] é suportada em \((0,1) (ou seja, é zero fora desse intervalo).
Em (0,1) temos f(x)=x.
A tarefa é calcular a transformada de Fourier de f (sem usar tabela pronta) e mostrar todos os detalhes.]
Passo 2
Vamos fixar a convenção de transformada de Fourier que usarei (é importante definir, porque existem várias convenções). Vou usar
onde \omega é a variável de frequência (real) e i é a unidade imaginária (i^2=-1). Explicando: essa integral combina f(x) com as funções complexas e^{-i\omega x}; como f é zero fora de (0,1), a integral reduz-se a um integral sobre [0,1]:
Observação prática: é preciso tratar separadamente o caso \omega=0 (pois aparecem divisões por \omega nos passos), então faremos \omega\neq 0 primeiro e depois \omega=0.
Passo 3
Calculemos a integral para \omega\neq 0:
I(\omega)=\int_{0}^{1} x\,e^{-i\omega x}\,dx.
Usaremos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=x (porque sua derivada é simples) e dv=e^{-i\omega x}\,dx. Então
Simplificamos passo a passo. Observe que \dfrac{1}{i}=-i e \dfrac{1}{(i\omega)^2}=-\dfrac{1}{\omega^2}, mas vamos simplificar mantendo formas explícitas primeiro:
Essa expressão é válida para \omega\neq 0. (Se você quiser verificar os passos algébricos: multiplicando a expressão final por \omega^2 devolve os termos originais.)
Passo 6
Agora tratemos \omega=0. Pela definição da transformada,
Também podemos ver que a expressão obtida para \omega\neq 0 tem limite igual a 1/2 quando \omega\to 0. Uma rápida verificação por série de Taylor de e^{-i\omega} dá
substituindo em \dfrac{e^{-i\omega}(1+i\omega)-1}{\omega^2} o numerador aproxima-se de \tfrac{\omega^{2}}{2}+O(\omega^{3}), e o quociente tende a \tfrac{1}{2}. Portanto a expressão é contínua e consistente em \omega=0.
Passo 7
Resumo final: a transformada de Fourier é dada por uma expressão fechada que valora \omega\neq 0 e toma o valor \tfrac{1}{2} em \omega=0. Tivemos cuidado com integração por partes, manipulação de \dfrac{1}{i} e com o limite em \omega\to 0.