Encontre a transformada de Fourier de f(x)\) (sem usar a Tabela III da Seção 11.10). Mostre os detalhes. \(f(x)= \begin{cases}x & \text { se } 0<x<1 \\\\ 0 & \text { nos demais casos }\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de f(x)\) definida por \[f(x)=\begin{cases} x & \text{se } 0<x<1,\\[4pt] 0 & \text{nos demais casos.} \end{cases}
Informações importantes dadas:
  • f(x)\] é suportada em \((0,1) (ou seja, é zero fora desse intervalo).
  • Em (0,1) temos f(x)=x.
  • A tarefa é calcular a transformada de Fourier de f (sem usar tabela pronta) e mostrar todos os detalhes.]

Passo 2

Vamos fixar a convenção de transformada de Fourier que usarei (é importante definir, porque existem várias convenções). Vou usar
\widehat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx,
onde \omega é a variável de frequência (real) e i é a unidade imaginária ( i^2=-1). Explicando: essa integral combina f(x) com as funções complexas e^{-i\omega x}; como f é zero fora de (0,1), a integral reduz-se a um integral sobre [0,1]:
\widehat{f}(\omega)=\int_{0}^{1} x\,e^{-i\omega x}\,dx.
Observação prática: é preciso tratar separadamente o caso \omega=0 (pois aparecem divisões por \omega nos passos), então faremos \omega\neq 0 primeiro e depois \omega=0.

Passo 3

Calculemos a integral para \omega\neq 0:
I(\omega)=\int_{0}^{1} x\,e^{-i\omega x}\,dx.
Usaremos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=x (porque sua derivada é simples) e dv=e^{-i\omega x}\,dx. Então
du=dx,\qquad v=\int e^{-i\omega x}\,dx = -\frac{1}{i\omega}\,e^{-i\omega x},
pois a derivada de e^{-i\omega x} é -i\omega e^{-i\omega x}, logo o antiderivado é -1/(i\omega)\,e^{-i\omega x}.

Passo 4

Aplicando integração por partes:
I(\omega)=\left. x\left(-\frac{1}{i\omega} e^{-i\omega x}\right)\right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\left(-\frac{1}{i\omega} e^{-i\omega x}\right)\,dx.
Avalie o termo de fronteira:
\left. x\left(-\frac{1}{i\omega} e^{-i\omega x}\right)\right|_{0}^{1} = -\frac{1}{i\omega}\,e^{-i\omega}\cdot 1 - 0 = -\frac{e^{-i\omega}}{i\omega}.
O termo integral restante é
-\int_{0}^{1}\left(-\frac{1}{i\omega} e^{-i\omega x}\right)\,dx = \frac{1}{i\omega}\int_{0}^{1} e^{-i\omega x}\,dx.
Calcule essa integral exponencial:
\int_{0}^{1} e^{-i\omega x}\,dx = \left.-\frac{1}{i\omega} e^{-i\omega x}\right|_{0}^{1} = -\frac{1}{i\omega}\left(e^{-i\omega}-1\right).

Passo 5

Substituindo de volta em I(\omega):
I(\omega) = -\frac{e^{-i\omega}}{i\omega} + \frac{1}{i\omega}\left(-\frac{1}{i\omega}\left(e^{-i\omega}-1\right)\right).
Simplificamos passo a passo. Observe que \dfrac{1}{i}=-i e \dfrac{1}{(i\omega)^2}=-\dfrac{1}{\omega^2}, mas vamos simplificar mantendo formas explícitas primeiro:
I(\omega) = -\frac{e^{-i\omega}}{i\omega} - \frac{1}{(i\omega)^2}\left(e^{-i\omega}-1\right).
Agrupando com denominador comum \omega^2 (ou simplesmente reorganizando termos):
I(\omega) = \frac{e^{-i\omega}-1}{\omega^2} + \frac{i\,e^{-i\omega}}{\omega}.
Uma forma mais compacta é juntar termos sobre \omega^2:
I(\omega)=\frac{e^{-i\omega}(1+i\omega)-1}{\omega^2}.
Essa expressão é válida para \omega\neq 0. (Se você quiser verificar os passos algébricos: multiplicando a expressão final por \omega^2 devolve os termos originais.)

Passo 6

Agora tratemos \omega=0. Pela definição da transformada,
\widehat{f}(0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Também podemos ver que a expressão obtida para \omega\neq 0 tem limite igual a 1/2 quando \omega\to 0. Uma rápida verificação por série de Taylor de e^{-i\omega}
e^{-i\omega}=1 - i\omega - \tfrac{\omega^{2}}{2} + O(\omega^{3}),
substituindo em \dfrac{e^{-i\omega}(1+i\omega)-1}{\omega^2} o numerador aproxima-se de \tfrac{\omega^{2}}{2}+O(\omega^{3}), e o quociente tende a \tfrac{1}{2}. Portanto a expressão é contínua e consistente em \omega=0.

Passo 7

Resumo final: a transformada de Fourier é dada por uma expressão fechada que valora \omega\neq 0 e toma o valor \tfrac{1}{2} em \omega=0. Tivemos cuidado com integração por partes, manipulação de \dfrac{1}{i} e com o limite em \omega\to 0.

Resposta

\widehat{f}(\omega)=\frac{e^{-i\omega}\bigl(1+i\omega\bigr)-1}{\omega^{2}},\quad \omega\neq 0
\widehat{f}(0)=\tfrac{1}{2}

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