Encontre a transformada de Fourier de
Passo 1
O enunciado dá a função
O que o exercício pede: encontrar a transformada de Fourier de
é uma função retangular (constante igual a
no intervalo
e zero fora), e
é uma constante real qualquer.]
Passo 2
Primeiro vamos fixar a definição de transformada de Fourier que usarei (essa escolha é necessária para calcular). Vou usar a convenção clássica sem constantes de normalização:
Explicando isso de forma simples: para cada frequência
calculamos a integral da função multiplicada por
. O resultado é uma função de
que representa o espectro em frequência.
Passo 3
Como
fora de
, a integral sobre
reduz-se ao intervalo
(ou
, a diferença nos pontos extremos não altera a integral). Logo:
Tirando
para fora da integral (já que é constante):
Passo 4
Agora calculamos a integral
. A primitiva de
em relação a
é
(isso vem de
). Assim:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Vamos transformar a diferença de exponenciais em uma função trigonométrica usando a identidade de Euler:
Aplicando com
, temos
. Na expressão que temos aparece
, então
Substituindo isso em nossa integral:
Os fatores
simplificam:
Passo 6
Voltando à transformada com o fator
, obtemos
É comum escrever isso introduzindo a função sinc. Uma definição habitual é
(com valor 1 em
). Então a transformação fica
.
Passo 7
Precisamos tratar especialmente o caso
, porque a expressão
é uma forma
. Calculamos o limite quando
:
(isto pode ser demonstrado por série de Taylor ou por limite trigonométrico conhecido). Portanto em
temos
. Ou seja a expressão
é válida para todo
se entendermos o valor em
por continuidade.
Passo 8
Resumo e interpretação curta: a transformada de Fourier de uma janela retangular centrada na origem e de amplitude
é proporcional a uma função sinc. Isso diz que uma coisa bem localizada no tempo/espaço (uma caixa curta) tem um espectro espalhado em frequências (padrão sinc).
Resposta
com o valor em
dado por
.