Encontre a transformada de Fourier de f(x)\) (sem usar a Tabela III da Seção 11.10). Mostre os detalhes. \(f(x)= \begin{cases}k & \text { se }-1<x<1 \\\\ 0 & \text { nos demais casos }\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função f\) definida por \[f(x)=\begin{cases} k & \text{se } -1<x<1,\\[4pt] 0 & \text{nos demais casos.} \end{cases}
O que o exercício pede: encontrar a transformada de Fourier de f(x)\] (sem recorrer a tabelas). Informações relevantes fornecidas: \(f é uma função retangular (constante igual a k no intervalo (-1,1) e zero fora), e k é uma constante real qualquer.]

Passo 2

Primeiro vamos fixar a definição de transformada de Fourier que usarei (essa escolha é necessária para calcular). Vou usar a convenção clássica sem constantes de normalização:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Explicando isso de forma simples: para cada frequência \omega calculamos a integral da função multiplicada por e^{-i\omega x}. O resultado é uma função de \omega que representa o espectro em frequência.

Passo 3

Como f(x)=0 fora de (-1,1), a integral sobre (-\infty,\infty) reduz-se ao intervalo [-1,1] (ou (-1,1), a diferença nos pontos extremos não altera a integral). Logo:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-1}^{1} k\,e^{-i\omega x}\,dx.
Tirando k para fora da integral (já que é constante):
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=k\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x}\,dx.

Passo 4

Agora calculamos a integral \int_{-1}^{1} e^{-i\omega x}\,dx. A primitiva de e^{-i\omega x} em relação a x é -\dfrac{1}{i\omega}e^{-i\omega x} (isso vem de \dfrac{d}{dx}e^{-i\omega x}=-i\omega e^{-i\omega x}). Assim:
\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x}\,dx = \left[-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega x}\right]_{x=-1}^{x=1} = -\frac{1}{i\omega}\bigl(e^{-i\omega\cdot 1}-e^{-i\omega\cdot(-1)}\bigr).
Simplificando os sinais:
\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x}\,dx = -\frac{1}{i\omega}\bigl(e^{-i\omega}-e^{i\omega}\bigr).

Passo 5

Vamos transformar a diferença de exponenciais em uma função trigonométrica usando a identidade de Euler:
\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.
Aplicando com \theta=\omega, temos e^{i\omega}-e^{-i\omega}=2i\sin\omega. Na expressão que temos aparece e^{-i\omega}-e^{i\omega}=-(e^{i\omega}-e^{-i\omega}), então
-\bigl(e^{-i\omega}-e^{i\omega}\bigr)=e^{i\omega}-e^{-i\omega}=2i\sin\omega.
Substituindo isso em nossa integral:
\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x}\,dx = -\frac{1}{i\omega}\bigl(e^{-i\omega}-e^{i\omega}\bigr) = \frac{1}{i\omega}\bigl(e^{i\omega}-e^{-i\omega}\bigr) = \frac{1}{i\omega}\cdot 2i\sin\omega.
Os fatores i simplificam:
\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x}\,dx = \frac{2i\sin\omega}{i\omega} = \frac{2\sin\omega}{\omega}.

Passo 6

Voltando à transformada com o fator k, obtemos
\mathcal{F}\{f\}(\omega) = k\cdot \frac{2\sin\omega}{\omega} = 2k\cdot\frac{\sin\omega}{\omega}.
É comum escrever isso introduzindo a função sinc. Uma definição habitual é \operatorname{sinc}(\omega)=\dfrac{\sin\omega}{\omega} (com valor 1 em \omega=0). Então a transformação fica \mathcal{F}\{f\}(\omega)=2k\,\operatorname{sinc}(\omega).

Passo 7

Precisamos tratar especialmente o caso \omega=0, porque a expressão \dfrac{\sin\omega}{\omega} é uma forma \dfrac{0}{0}. Calculamos o limite quando \omega\to 0:
\lim_{\omega\to 0}\frac{\sin\omega}{\omega}=1
(isto pode ser demonstrado por série de Taylor ou por limite trigonométrico conhecido). Portanto em \omega=0 temos \mathcal{F}\{f\}(0)=2k\cdot 1=2k. Ou seja a expressão 2k\frac{\sin\omega}{\omega} é válida para todo \omega se entendermos o valor em \omega=0 por continuidade.

Passo 8

Resumo e interpretação curta: a transformada de Fourier de uma janela retangular centrada na origem e de amplitude k é proporcional a uma função sinc. Isso diz que uma coisa bem localizada no tempo/espaço (uma caixa curta) tem um espectro espalhado em frequências (padrão sinc).

Resposta

\mathcal{F}\{f\}(\omega)=2k\,\frac{\sin\omega}{\omega},
com o valor em \omega=0 dado por \mathcal{F}\{f\}(0)=2k.

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