Encontre a transformada inversa de:
Passo 1
O enunciado nos dá a função no domínio de
e pede para encontrar a transformada inversa, ou seja, a função de tempo
tal que
. Informação relevante fornecida:
-
é um múltiplo escalar de . - A transformada de Laplace é tipicamente considerada para
e valores de com (domínio de convergência).
Passo 2
O que é a transformada de Laplace e a transformada inversa (rapidinho, para lembrar)?
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
A transformada inversa,
, é a operação que recupera
a partir de
. Na prática de prova usamos propriedades e tabelas conhecidas em vez de calcular a integral inversa complicada.
Passo 3
Propriedade útil: linearidade. Para constantes
e funções
,
Isto implica também que a transformada inversa é linear:
Isso é importante porque
é um número
multiplicando
.
Passo 4
Recordando uma transformada básica (e mostrando a conta, para você decorar sem medo): para a função constante
vale
Calculando a integral:
para
. Logo
Passo 5
Aplicando linearidade e a transformada conhecida: como
temos
Lembre que a transformada é definida para
, então a função de tempo recuperada é constante igual a
para
. Em notação alternativa pode-se escrever
, onde
é o degrau de Heaviside.
Passo 6
Pequeno exemplo extra (pra fixar o raciocínio): se tivesse
, usando que
, conclui-se
. Mesma ideia: reconhecer uma transformada conhecida e usar linearidade.