Encontre a transformada inversa de:
F(s)=\frac{5}{s}

Passo 1

O enunciado nos dá a função no domínio de s
F(s)=\frac{5}{s}
e pede para encontrar a transformada inversa, ou seja, a função de tempo f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Informação relevante fornecida:
  • F(s) é um múltiplo escalar de \dfrac{1}{s}.
  • A transformada de Laplace é tipicamente considerada para t\ge 0 e valores de s com \operatorname{Re}(s)>0 (domínio de convergência).

Passo 2

O que é a transformada de Laplace e a transformada inversa (rapidinho, para lembrar)?
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt.
A transformada inversa, \mathcal{L}^{-1}\{\cdot\}, é a operação que recupera f(t) a partir de F(s). Na prática de prova usamos propriedades e tabelas conhecidas em vez de calcular a integral inversa complicada.

Passo 3

Propriedade útil: linearidade. Para constantes a,b e funções f,g,
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
Isto implica também que a transformada inversa é linear:
\mathcal{L}^{-1}\{a F(s)+b G(s)\}=a\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}+b\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.
Isso é importante porque F(s)=5\cdot\frac{1}{s} é um número 5 multiplicando \frac{1}{s}.

Passo 4

Recordando uma transformada básica (e mostrando a conta, para você decorar sem medo): para a função constante 1 vale
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Calculando a integral:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{T} =\lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-sT}+\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s},
para \operatorname{Re}(s)>0. Logo
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.

Passo 5

Aplicando linearidade e a transformada conhecida: como
F(s)=5\cdot\frac{1}{s},
temos
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=5\cdot\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=5\cdot 1=5.
Lembre que a transformada é definida para t\ge 0, então a função de tempo recuperada é constante igual a 5 para t\ge 0. Em notação alternativa pode-se escrever f(t)=5\,u(t), onde u(t) é o degrau de Heaviside.

Passo 6

Pequeno exemplo extra (pra fixar o raciocínio): se tivesse G(s)=\dfrac{3}{s+2}, usando que \mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\dfrac{1}{s+2}, conclui-se \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}=3e^{-2t}. Mesma ideia: reconhecer uma transformada conhecida e usar linearidade.

Resposta

f(t)=5,\quad t\ge 0

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