Dado o sistema descrito pela equação diferencial:
Determine a função de transferência
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar a função de transferência
.
Informações relevantes que temos:
- A equação relaciona a saída
com a entrada . - Não foram fornecidas condições iniciais no enunciado.
- Por convenção, a função de transferência é definida como a razão
no domínio de Laplace assumindo condições iniciais nulas (isto é, e ). Esta convenção será usada para obter .
Passo 2
Breve aula sobre a transformada de Laplace e sua aplicação aqui:
- Seja
e . A transformada de Laplace troca derivadas por polinômios em mais termos com condições iniciais. - Regras para derivadas (com
e as condições iniciais):
- A função de transferência
é a razão entre e quando as condições iniciais são zero:
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace a cada termo da equação diferencial (sem ainda impor condições iniciais):
Substituindo as fórmulas das derivadas:
Passo 4
Agora imponha as condições iniciais nulas, que são a convenção para obter a função de transferência:
e
. Com isso os termos envolvendo condições iniciais somem, e a equação no domínio de Laplace fica:
Fatorando
:
Passo 5
Isolando a razão
obtemos a função de transferência:
Podemos também fatorar o denominador para uma forma alternativa:
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