Dado o sistema descrito pela equação diferencial:
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+3 \frac{d y}{d t}+2 y=u(t)
Determine a função de transferência G(S)=\frac{Y(s)}{U(s)}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+3 \frac{d y}{d t}+2 y=u(t)
e pede para determinar a função de transferência G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}.
Informações relevantes que temos:
  • A equação relaciona a saída y(t) com a entrada u(t).
  • Não foram fornecidas condições iniciais no enunciado.
  • Por convenção, a função de transferência é definida como a razão Y(s)/U(s) no domínio de Laplace assumindo condições iniciais nulas (isto é, y(0)=0 e y'(0)=0). Esta convenção será usada para obter G(s).

Passo 2

Breve aula sobre a transformada de Laplace e sua aplicação aqui:
  • Seja \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s) e \mathcal{L}\{u(t)\}=U(s). A transformada de Laplace troca derivadas por polinômios em s mais termos com condições iniciais.
  • Regras para derivadas (com y(0) e y'(0) as condições iniciais): \mathcal{L}\left\{\frac{d y}{d t}\right\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\left\{\frac{d^{2} y}{d t^{2}}\right\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
  • A função de transferência G(s) é a razão entre Y(s) e U(s) quando as condições iniciais são zero: G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\quad\text{(com \(y(0)=0,\;y'(0)=0\)).}

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace a cada termo da equação diferencial (sem ainda impor condições iniciais):
\mathcal{L}\left\{\frac{d^{2} y}{d t^{2}}\right\} + 3\mathcal{L}\left\{\frac{d y}{d t}\right\} + 2\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{u(t)\}.
Substituindo as fórmulas das derivadas:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) + 3\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) + 2Y(s) = U(s).

Passo 4

Agora imponha as condições iniciais nulas, que são a convenção para obter a função de transferência: y(0)=0 e y'(0)=0. Com isso os termos envolvendo condições iniciais somem, e a equação no domínio de Laplace fica:
s^{2}Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = U(s).
Fatorando Y(s):
\bigl(s^{2}+3s+2\bigr)Y(s)=U(s).

Passo 5

Isolando a razão Y(s)/U(s) obtemos a função de transferência:
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^{2}+3s+2}.
Podemos também fatorar o denominador para uma forma alternativa:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2),
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G(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}.

Resposta

G(s)=\frac{1}{s^{2}+3s+2}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}

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