Encontre a transformada inversa de:
F(s)=\frac{5}{s}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=\frac{5}{s}.
Ou seja, devemos encontrar uma função f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\frac{5}{s},
onde a transformada de Laplace é considerada para t\ge 0. Vamos listar o que temos de informação: o numerador é 5 e o denominador é s. Nada mais é dado.

Passo 2

Relembrando a definição básica da transformada de Laplace (isso ajuda a entender o porquê das regras que usaremos):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral deve convergir (normalmente exigimos \operatorname{Re}(s) suficientemente grande). A transformada inversa é denotada por \mathcal{L}^{-1} e satisfaz
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t)=f(t).

Passo 3

Uma propriedade fundamental e muito usada (e fácil de aplicar na prova) é a linearidade da transformada:
\mathcal{L}\{a\,f(t)+b\,g(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s),
para constantes a,b. Em particular, se soubermos que
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}\quad\text{(para \(\operatorname{Re}(s)>0\))},
então pela linearidade
\mathcal{L}\{5\}(s)=5\cdot\mathcal{L}\{1\}(s)=5\cdot\frac{1}{s}=\frac{5}{s}.

Passo 4

Da propriedade acima segue imediatamente a transformada inversa desejada: como \mathcal{L}\{5\}(s)=\dfrac{5}{s}, então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{5}{s}\right\}(t)=5.
Aqui a função no tempo é a constante 5 definida para t\ge 0. Em notação com o degrau de Heaviside, pode-se escrever 5\,u(t), mas normalmente escrevemos simplesmente 5 quando entendemos que a transformada de Laplace se refere a funções para t\ge 0.

Passo 5

Vale sempre fazer uma checagem rápida calculando a transformada direta de f(t)=5 para confirmar (isso é legal na prova, mostra que o raciocínio está consistente):
\mathcal{L}\{5\}(s)=\int_{0}^{\infty} 5\,e^{-s t}\,dt =5\left[\frac{-1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} =5\left(0-\left(-\frac{1}{s}\right)\right)=\frac{5}{s},
desde que \operatorname{Re}(s)>0. Confere com F(s).

Passo 6

Resumo do método que você pode usar na prova:
  • Identifique se F(s) é múltiplo de uma transformada padrão conhecida (aqui 1/s é padrão).
  • Use linearidade para puxar constantes para fora.
  • Se quiser, faça a verificação integrando diretamente para garantir convergência.

Resposta

f(t)=5 para t\ge 0 (ou f(t)=5\,u(t)).

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