Encontre a transformada inversa de:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de
Ou seja, devemos encontrar uma função
tal que
onde a transformada de Laplace é considerada para
. Vamos listar o que temos de informação: o numerador é
e o denominador é
. Nada mais é dado.
Passo 2
Relembrando a definição básica da transformada de Laplace (isso ajuda a entender o porquê das regras que usaremos):
onde
é uma variável complexa e a integral deve convergir (normalmente exigimos
suficientemente grande). A transformada inversa é denotada por
e satisfaz
Passo 3
Uma propriedade fundamental e muito usada (e fácil de aplicar na prova) é a linearidade da transformada:
para constantes
. Em particular, se soubermos que
então pela linearidade
Passo 4
Da propriedade acima segue imediatamente a transformada inversa desejada: como
, então
Aqui a função no tempo é a constante
definida para
. Em notação com o degrau de Heaviside, pode-se escrever
, mas normalmente escrevemos simplesmente
quando entendemos que a transformada de Laplace se refere a funções para
.
Passo 5
Vale sempre fazer uma checagem rápida calculando a transformada direta de
para confirmar (isso é legal na prova, mostra que o raciocínio está consistente):
desde que
. Confere com
.
Passo 6
Resumo do método que você pode usar na prova:
- Identifique se
é múltiplo de uma transformada padrão conhecida (aqui é padrão). - Use linearidade para puxar constantes para fora.
- Se quiser, faça a verificação integrando diretamente para garantir convergência.