Determine a Transformada de Laplace de:
\begin{gathered} f(t)=e^{2 t} \\\ \mathcal{L}\left\{e^{a t}\right\}=\frac{1}{s-a} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado fornece a função e pede a sua Transformada de Laplace. Informações dadas:
  • A função é f(t)=e^{2t}.
  • Foi dada também a fórmula geral \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}.
O que se pede: determinar \mathcal{L}\{e^{2t}\} (ou seja, o valor da transformada e, se pertinente, a região de convergência).

Passo 2

Vou lembrar a definição integral da Transformada de Laplace e explicar cada símbolo (isso ajuda na prova).
  • Definição: \displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
  • Aqui t é a variável de tempo (real, t\ge 0).
  • A variável s é a variável complexa da transformada; na prática, para convergência precisamos que a parte real de s seja suficientemente grande. Escrevemos a parte real como \operatorname{Re}(s).
  • Para aplicar a definição, substitui-se f(t) na integral e avalia-se o integral impróprio de 0 a \infty.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso f(t)=e^{2t}:
\mathcal{L}\{e^{2t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{2t}\,dt.
Juntando os expoentes:
\mathcal{L}\{e^{2t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-2)t}\,dt.

Passo 4

Vamos calcular o integral impróprio passo a passo. Seja k=s-2. Então o integral é \int_{0}^{\infty} e^{-k t}\,dt.
Calcule a integral truncada e depois faça o limite:
\int_{0}^{R} e^{-k t}\,dt=\left[-\frac{1}{k}e^{-k t}\right]_{0}^{R}=-\frac{1}{k}\bigl(e^{-kR}-1\bigr)=\frac{1}{k}\bigl(1-e^{-kR}\bigr).
Agora tome o limite R\to\infty. Para que \lim_{R\to\infty} e^{-kR}=0 é necessário que a parte real de k seja positiva, ou seja \operatorname{Re}(k)>0.

Passo 5

Substituindo k=s-2 e usando \lim_{R\to\infty} e^{-(s-2)R}=0 quando \operatorname{Re}(s-2)>0 (isto é, quando \operatorname{Re}(s)>2), obtemos
\mathcal{L}\{e^{2t}\}(s)=\frac{1}{s-2},
válido para \operatorname{Re}(s)>2.
Também é consistente com a fórmula dada no enunciado: basta substituir a=2 em \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}.

Passo 6

Dica rápida para a prova: memorize \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} e não esqueça da região de convergência \operatorname{Re}(s)>a. Assim, para qualquer exponencial e^{at} é só trocar a pelo número dado.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{2t}\}(s)=\frac{1}{s-2}, para \displaystyle \operatorname{Re}(s)>2

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