Determine a Transformada de Laplace de:
Passo 1
O enunciado fornece a função e pede a sua Transformada de Laplace. Informações dadas:
- A função é
. - Foi dada também a fórmula geral
.
O que se pede: determinar
(ou seja, o valor da transformada e, se pertinente, a região de convergência).
Passo 2
Vou lembrar a definição integral da Transformada de Laplace e explicar cada símbolo (isso ajuda na prova).
- Definição:
- Aqui
é a variável de tempo (real, ). - A variável
é a variável complexa da transformada; na prática, para convergência precisamos que a parte real de seja suficientemente grande. Escrevemos a parte real como . - Para aplicar a definição, substitui-se
na integral e avalia-se o integral impróprio de a .
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
:
Juntando os expoentes:
Passo 4
Vamos calcular o integral impróprio passo a passo. Seja
. Então o integral é
.
Calcule a integral truncada e depois faça o limite:
Calcule a integral truncada e depois faça o limite:
Agora tome o limite
. Para que
é necessário que a parte real de
seja positiva, ou seja
.
Passo 5
Substituindo
e usando
quando
(isto é, quando
), obtemos
válido para
.
Também é consistente com a fórmula dada no enunciado: basta substituir
em
.
Passo 6
Dica rápida para a prova: memorize
e não esqueça da região de convergência
. Assim, para qualquer exponencial
é só trocar
pelo número dado.