Questão 5 (07 pontos) Calcule \cos \frac{\pi}{12} e \operatorname{sen} \frac{5 \pi}{12}.

Justifique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Calcular \cos \frac{\pi}{12}.
  • Calcular \operatorname{sen} \frac{5\pi}{12}.
Informações imediatas retiradas do enunciado:
  • \frac{\pi}{12} corresponde a 15^\circ.
  • \frac{5\pi}{12} corresponde a 75^\circ.
Nada mais é dado explicitamente; a resolução seguirá usando identidades trigonométricas e valores trigonométricos exatos de ângulos especiais para obter resultados em forma de radicais.

Passo 2

Apresentar as identidades de soma e diferença de ângulos que serão usadas (aqui é uma “aula rapidinha” sobre as fórmulas).
  • Fórmula da diferença para o cosseno: para quaisquer ângulos a e b,
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.
O que isso diz, em palavras: o cosseno da diferença entre dois ângulos é a soma do produto dos cossenos com o produto dos senos desses ângulos.
  • Fórmula da soma para o seno: para quaisquer ângulos a e b,
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
Isto diz: o seno da soma é a soma dos produtos seno‑cosseno cruzados.
Explicando as letras: a e b representam ângulos quaisquer; \cos e \sin são as funções trigonométricas cosseno e seno. Essas fórmulas são padrões que aparecem sempre que queremos expressar funções trigonométricas de somas ou diferenças em termos de funções de ângulos mais simples.

Passo 3

Escolher decomposições úteis dos ângulos dados em somas ou diferenças de ângulos “conhecidos”.
  • Note que \displaystyle \frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6} porque \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi-2\pi}{12}=\frac{\pi}{12}. Em graus: 15^\circ=45^\circ-30^\circ.
  • Note também que \displaystyle \frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6} porque \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi+2\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}. Em graus: 75^\circ=45^\circ+30^\circ.
Essas escolhas são naturais porque conhecemos exactamente \sin e \cos de 30^\circ e 45^\circ, e as fórmulas do passo anterior permitem combinar esses valores.

Passo 4

Recordar (ou justificar rapidamente) os valores exatos de \sin e \cos para os ângulos 30^\circ e 45^\circ:
  • Para 30^\circ (que é \displaystyle \frac{\pi}{6}):
    \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.
    Esses valores vêm, por exemplo, ao dividir um triângulo equilátero em dois triângulos retângulos (ângulo de 30^\circ tem cateto oposto metade da hipotenusa).
  • Para 45^\circ (que é \displaystyle \frac{\pi}{4}):
    \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
    Esses valores vêm do triângulo retângulo isósceles 45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ.
Vou usar esses valores nas fórmulas do passo 2.

Passo 5

Calcular \cos \frac{\pi}{12} usando a fórmula de diferença do passo 2 com a=\frac{\pi}{4} e b=\frac{\pi}{6}:
\cos\frac{\pi}{12}=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right) =\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}.
Substituindo os valores exatos do passo 4:
\cos\frac{\pi}{12}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\!\left(\frac{1}{2}\right).
Agora simplificar passo a passo:
\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}.
Colocando em fator comum:
\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.

Passo 6

Calcular \operatorname{sen}\frac{5\pi}{12} usando a fórmula de soma do passo 2 com a=\frac{\pi}{4} e b=\frac{\pi}{6}:
\sin\frac{5\pi}{12}=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right) =\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}.
Substituindo os valores do passo 4:
\sin\frac{5\pi}{12}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\!\left(\frac{1}{2}\right).
Isso é exatamente a mesma expressão obtida para o cosseno em \frac{\pi}{12}. Simplificando:
\sin\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.

Passo 7

Check rápido (para conforto): numericamente \displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx\frac{2{,}44949+1{,}41421}{4}\approx0{,}9659, que é consistente com \cos 15^\circ e \sin 75^\circ sendo números próximos de 0{,}966. Além disso, faz sentido que os dois resultados sejam iguais porque \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12}\right)=\cos\frac{\pi}{12} (identidade complementar \sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x), então era de se esperar igualdade.

Resposta

\displaystyle \cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\displaystyle \operatorname{sen}\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

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