Questão 5 (07 pontos) Calcule
e
.
Justifique seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações imediatas retiradas do enunciado:
-
corresponde a . -
corresponde a .
Nada mais é dado explicitamente; a resolução seguirá usando identidades trigonométricas e valores trigonométricos exatos de ângulos especiais para obter resultados em forma de radicais.
Passo 2
Apresentar as identidades de soma e diferença de ângulos que serão usadas (aqui é uma “aula rapidinha” sobre as fórmulas).
- Fórmula da diferença para o cosseno: para quaisquer ângulos
e ,
O que isso diz, em palavras: o cosseno da diferença entre dois ângulos é a soma do produto dos cossenos com o produto dos senos desses ângulos.
- Fórmula da soma para o seno: para quaisquer ângulos
e ,
Isto diz: o seno da soma é a soma dos produtos seno‑cosseno cruzados.
Explicando as letras:
e
representam ângulos quaisquer;
e
são as funções trigonométricas cosseno e seno. Essas fórmulas são padrões que aparecem sempre que queremos expressar funções trigonométricas de somas ou diferenças em termos de funções de ângulos mais simples.
Passo 3
Escolher decomposições úteis dos ângulos dados em somas ou diferenças de ângulos “conhecidos”.
- Note que
porque . Em graus: . - Note também que
porque . Em graus: .
Essas escolhas são naturais porque conhecemos exactamente
e
de
e
, e as fórmulas do passo anterior permitem combinar esses valores.
Passo 4
Recordar (ou justificar rapidamente) os valores exatos de
e
para os ângulos
e
:
-
Para
(que é ): Esses valores vêm, por exemplo, ao dividir um triângulo equilátero em dois triângulos retângulos (ângulo detem cateto oposto metade da hipotenusa). -
Para
(que é ): Esses valores vêm do triângulo retângulo isósceles.
Vou usar esses valores nas fórmulas do passo 2.
Passo 5
Calcular
usando a fórmula de diferença do passo 2 com
e
:
Substituindo os valores exatos do passo 4:
Agora simplificar passo a passo:
Colocando em fator comum:
Passo 6
Calcular
usando a fórmula de soma do passo 2 com
e
:
Substituindo os valores do passo 4:
Isso é exatamente a mesma expressão obtida para o cosseno em
. Simplificando:
Passo 7
Check rápido (para conforto): numericamente
, que é consistente com
e
sendo números próximos de
. Além disso, faz sentido que os dois resultados sejam iguais porque
(identidade complementar
), então era de se esperar igualdade.