Encontre a transformada inversa de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Isso envolve usar a teoria das frações parciais e a tabela de transformadas de Laplace. Vamos precisar fatorar o denominador e separar a função em partes mais simples para encontrar a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos factorar o denominador
. Tentamos encontrar raízes racionais usando o teste das raízes possíveis. Testando
:
Então,
é um fator do denominador. Agora, dividimos o polinômio pelo fator
para encontrar os outros fatores:
Passo 3
Agora, reescrevemos
usando esses fatores:
Vamos separar isso em frações parciais. Assume-se que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados pela parte denominadora
para eliminar as frações:
Expandindo o lado direito:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
-
De
, temos . -
Substituindo
na segunda equação:
- Substituindo
e na terceira equação:
Então:
Passo 7
Agora, substituímos
,
e
de volta nas frações parciais:
Podemos simplificar isso:
Passo 8
Vamos simplificar o denominador
completando o quadrado:
Então, podemos reescrever:
Que simplifica para:
Simplificando mais:
Ou seja:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: