Encontre a transformada inversa de Laplace
F 3(s)=2 s+3 /
s 3+6 s 2+21 s+26

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso envolve usar a teoria das frações parciais e a tabela de transformadas de Laplace. Vamos precisar fatorar o denominador e separar a função em partes mais simples para encontrar a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos factorar o denominador (-2)^3 + 6(-2)^2 + 21(-2) + 26 = -8 + 24 - 42 + 26 = 0 . Tentamos encontrar raízes racionais usando o teste das raízes possíveis. Testando s^3 + 6s^2 + 21s + 26 = (s + 2)(s^2 + 4s + 13) :
Então, é um fator do denominador. Agora, dividimos o polinômio pelo fator para encontrar os outros fatores:

Passo 3

Agora, reescrevemos F3(s) = 2s + 3(s + 2)(s^2 + 4s + 13) usando esses fatores:
2s + 3(s + 2)(s^2 + 4s + 13) = As + 2 + Bs + Cs^2 + 4s + 13
Vamos separar isso em frações parciais. Assume-se que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pela parte denominadora 2s + 3 = A(s^2 + 4s + 13) + (Bs + C)(s + 2) para eliminar as frações:
2s + 3 = As^2 + 4As + 13A + Bs^2 + 2Bs + Cs + 2C
Expandindo o lado direito:
2s + 3 = (A + B)s^2 + (4A + 2B + C)s + (13A + 2C)
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para A + B = 0 :
4A + 2B + C = 2
  1. Para 13A + 2C = 3 :
  1. Para o termo constante:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. De 4A + 2(-A) + C = 2 Rightarrow 2A + C = 2 Rightarrow C = 2 - 2A , temos 13A + 2(2 - 2A) = 3 Rightarrow 13A + 4 - 4A = 3 Rightarrow 9A = -1 Rightarrow A = -19 .
  2. Substituindo B = -A = 19 na segunda equação:
C = 2 - 2(-19) = 2 + 29 = 209
  1. Substituindo e na terceira equação:
Então:

Passo 7

Agora, substituímos F3(s) = -19s + 2 + 19s + 209s^2 + 4s + 13 , F3(s) = -19cdot1s + 2 + 19cdotss^2 + 4s + 13 + 209cdot1s^2 + 4s + 13 e de volta nas frações parciais:
Podemos simplificar isso:

Passo 8

Vamos simplificar o denominador s^2 + 4s + 13 = (s + 2)^2 + 9 completando o quadrado:
F3(s) = -19cdot1s + 2 + 19cdots + 2 - 2(s + 2)^2 + 9 + 209cdot1(s + 2)^2 + 9
Então, podemos reescrever:
F3(s) = -19cdot1s + 2 + 19cdots + 2(s + 2)^2 + 9 - 29cdot1(s + 2)^2 + 9 + 209cdot1(s + 2)^2 + 9
Que simplifica para:
F3(s) = -19cdot1s + 2 + 19cdots + 2(s + 2)^2 + 9 + 189cdot1(s + 2)^2 + 9
Simplificando mais:
F3(s) = -19cdot1s + 2 + 19cdots + 2(s + 2)^2 + 9 + 2cdot1(s + 2)^2 + 9
Ou seja:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente:
  1. Para L^-1-19cdot1s + 2 = -19e^-2t :
L^-119cdots + 2(s + 2)^2 + 9 = 19e^-2tcos(3t)
  1. Para L^-12cdot1(s + 2)^2 + 9 = 23e^-2tsin(3t) :
  1. Para :

Resposta

A transformada inversa de Laplace de f(t) = -19e^-2t + 19e^-2tcos(3t) + 23e^-2tsin(3t) é:

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