Encontre a transformada inversa de Laplace
F1(s)=3 s2+5 s /
s 3+6 s 2+11 s+6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de uma função racional. Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, que nos ajuda a transformar equações diferenciais em formas mais fáceis de resolver. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador da função e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que precisamos transformar:
F1(s) = 3s^2 + 5ss^3 + 6s^2 + 11s + 6
Nosso objetivo é simplificar essa fração.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador. Queremos encontrar fatores lineares de s^3 + 6s^2 + 11s + 6. Testando alguns valores, percebemos que s = -1 é uma raiz. Então, podemos dividir o polinômio por (s + 1):
s^3 + 6s^2 + 11s + 6 = (s + 1)(s^2 + 5s + 6)
Agora, fatoramos s^2 + 5s + 6:
s^2 + 5s + 6 = (s + 2)(s + 3)
Então, o denominador fatorado fica:
(s + 1)(s + 2)(s + 3)

Passo 4

Agora, reescrevemos F1(s) usando frações parciais:
3s^2 + 5s(s + 1)(s + 2)(s + 3) = As + 1 + Bs + 2 + Cs + 3
Multiplicamos ambos os lados por (s + 1)(s + 2)(s + 3) para eliminar os denominadores:
3s^2 + 5s = A(s + 2)(s + 3) + B(s + 1)(s + 3) + C(s + 1)(s + 2)
Agora, escolhemos valores de s que simplificam a equação:
  • Para s = -1: 3(-1)^2 + 5(-1) = A(1)(2) Rightarrow 3 - 5 = 2A Rightarrow A = -1
  • Para s = -2: 3(-2)^2 + 5(-2) = B(-1)(1) Rightarrow 12 - 10 = -B Rightarrow B = -2
  • Para s = -3: 3(-3)^2 + 5(-3) = C(-2)(-1) Rightarrow 27 - 15 = 2C Rightarrow C = 6

Passo 5

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a função como:
3s^2 + 5s(s + 1)(s + 2)(s + 3) = -1s + 1 + -2s + 2 + 6s + 3
Para encontrar a transformada inversa de Laplace, usamos que:
L^-11s + a = e^-at
Aplicando isso a cada termo:
L^-1-1s + 1 = -e^-t
L^-1-2s + 2 = -2e^-2t
L^-16s + 3 = 6e^-3t

Resposta

A transformada inversa de Laplace de F1(s) é:
f1(t) = -e^-t - 2e^-2t + 6e^-3t

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