Encontre a transformada inversa de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de uma função racional. Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, que nos ajuda a transformar equações diferenciais em formas mais fáceis de resolver. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador da função e usar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que precisamos transformar:
Nosso objetivo é simplificar essa fração.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador. Queremos encontrar fatores lineares de
. Testando alguns valores, percebemos que
é uma raiz. Então, podemos dividir o polinômio por
:
Agora, fatoramos
:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 4
Agora, reescrevemos
usando frações parciais:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a função como:
Para encontrar a transformada inversa de Laplace, usamos que:
Aplicando isso a cada termo:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: