Encontre a transformada inversa de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntinhos! A gente precisa encontrar a transformada inversa da função
. Vamos usar conceitos de transformada de Laplace, como frações parciais e propriedades de funções conhecidas para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão da função
. A gente tem um polinômio no numerador e uma potência de
no denominador. Para facilitar, vamos tentar simplificar ou decompor essa fração. Isso geralmente envolve usar frações parciais para quebrar a expressão em partes mais simples que a gente sabe transformar de volta no domínio do tempo.
Passo 3
Vamos começar dividindo o numerador pelo denominador. A expressão é:
Observamos que o denominador é
, então queremos reescrever o numerador de uma forma que facilite a divisão. Notamos que
pode ser reescrito como
, mas não ajuda diretamente. Melhor, vamos expressar o numerador em termos de
:
Substituindo isso no numerador:
Expandindo:
Simplificando:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora que a gente quebrou
em frações mais simples, vamos lembrar das transformadas inversas conhecidas. Sabemos que:
Aplicando isso a cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, juntando todas as partes que a gente transformou:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: