Encontre a transformada inversa de Laplace
F2(s)=s 2+2 s+1 /(s+2)3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntinhos! A gente precisa encontrar a transformada inversa da função . Vamos usar conceitos de transformada de Laplace, como frações parciais e propriedades de funções conhecidas para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão da função . A gente tem um polinômio no numerador e uma potência de no denominador. Para facilitar, vamos tentar simplificar ou decompor essa fração. Isso geralmente envolve usar frações parciais para quebrar a expressão em partes mais simples que a gente sabe transformar de volta no domínio do tempo.

Passo 3

Vamos começar dividindo o numerador pelo denominador. A expressão é:
s^2 + 2s + 1(s + 2)^3
Observamos que o denominador é s = (s + 2) - 2 , então queremos reescrever o numerador de uma forma que facilite a divisão. Notamos que s^2 + 2s + 1 = [(s + 2) - 2]^2 + 2[(s + 2) - 2] + 1 pode ser reescrito como = (s + 2)^2 - 4(s + 2) + 4 + 2s + 4 - 4 + 1 , mas não ajuda diretamente. Melhor, vamos expressar o numerador em termos de = (s + 2)^2 - 4(s + 2) + 1 :
F2(s) = (s + 2)^2 - 4(s + 2) + 1(s + 2)^3 = 1s + 2 - 4(s + 2)^2 + 1(s + 2)^3
Substituindo isso no numerador:
Expandindo:
Simplificando:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora que a gente quebrou L^-1 1(s + a)^n = t^n-1 e^-a t(n-1)! em frações mais simples, vamos lembrar das transformadas inversas conhecidas. Sabemos que:
L^-1 1s + 2 = e^-2 t
Aplicando isso a cada termo:
  1. Para L^-1 4(s + 2)^2 = 4 t e^-2 t :
L^-1 1(s + 2)^3 = t^2 e^-2 t2
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, juntando todas as partes que a gente transformou:
L^-1 F2(s) = e^-2 t - 4 t e^-2 t + t^2 e^-2 t2
Podemos fatorar L^-1 F2(s) = e^-2 t (1 - 4 t + t^22) para simplificar:

Resposta

A transformada inversa de Laplace de f2(t) = e^-2 t (1 - 4 t + t^22) é:

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