Encontre a Transformada Inversa de Laplace das funções de transferência abaixo:
X(s)=\frac{15(s+1)}{s\left(s^{2}+9 s+14\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função de transferência
X(s)=\frac{15(s+1)}{s\left(s^{2}+9s+14\right)}.
Informações dadas e o que precisa ser encontrado:
  • A função racional no domínio de s tem denominador s\left(s^{2}+9s+14\right).
  • O objetivo é encontrar x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}, ou seja, a função no domínio do tempo cuja transformada de Laplace é X(s).
  • Não há outras informações/condições adicionais; assumir a transformada unilateral usual para t\ge 0.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador quadrático para simplificar a decomposição em frações parciais.
s^{2}+9s+14=(s+7)(s+2).
Portanto
X(s)=\frac{15(s+1)}{s(s+7)(s+2)}.

Passo 3

Vamos decompor X(s) em frações parciais no formato
\frac{15(s+1)}{s(s+7)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+7},
onde A,B,C são constantes a determinar. A justificativa: uma razão racional própria cujo denominador é produto de fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de termos da forma \dfrac{\text{constante}}{s+s_0}.

Passo 4

Método eficiente (cover-up) para obter A,B,C. Para cada polo simples s=s_0 multiplica-se por (s-s_0) e avalia em s=s_0.
Cálculo de A (polo em s=0):
A=\lim_{s\to 0} s\cdot X(s)=\lim_{s\to 0}\frac{15(s+1)}{(s+7)(s+2)}=\frac{15\cdot(0+1)}{7\cdot2}=\frac{15}{14}.
Cálculo de B (polo em s=-2):
B=\lim_{s\to -2} (s+2)\cdot X(s)=\lim_{s\to -2}\frac{15(s+1)}{s(s+7)}=\frac{15(-2+1)}{(-2)(-2+7)}=\frac{15(-1)}{(-2)(5)}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}.
Cálculo de C (polo em s=-7):
C=\lim_{s\to -7} (s+7)\cdot X(s)=\lim_{s\to -7}\frac{15(s+1)}{s(s+2)}=\frac{15(-7+1)}{(-7)(-7+2)}=\frac{15(-6)}{(-7)(-5)}=\frac{-90}{35}=-\frac{18}{7}.

Passo 5

Conferência rápida somando A+B+C (opcional, serve para checar aritmética):
A+B+C=\frac{15}{14}+\frac{3}{2}-\frac{18}{7}=\frac{15}{14}+\frac{21}{14}-\frac{36}{14}=0,
o que é consistente com o coeficiente s^{2} nulo no numerador (verificação adicional).
Portanto a decomposição é
X(s)=\frac{15}{14}\cdot\frac{1}{s}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{s+2}-\frac{18}{7}\cdot\frac{1}{s+7}.

Passo 6

Agora aplicamos as transformadas inversas básicas. Lembretes (pares transformada/inversa úteis):
  • \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
  • \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\dfrac{1}{s+a}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}.
Cada termo da decomposição corresponde a um desses pares com um coeficiente multiplicando.

Passo 7

Aplicando as transformadas inversas termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{15}{14}\cdot\frac{1}{s}\right\}=\frac{15}{14}\cdot 1=\frac{15}{14},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{s+2}\right\}=\frac{3}{2}e^{-2t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{18}{7}\cdot\frac{1}{s+7}\right\}=-\frac{18}{7}e^{-7t}.

Passo 8

Somando os termos obtém-se a solução no domínio do tempo, válida para t\ge 0:
x(t)=\frac{15}{14}+\frac{3}{2}e^{-2t}-\frac{18}{7}e^{-7t},\qquad t\ge 0.

Resposta

x(t)=\frac{15}{14}+\frac{3}{2}e^{-2t}-\frac{18}{7}e^{-7t},\qquad t\ge 0

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