Encontre a Transformada Inversa de Laplace das funções de transferência abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função de transferência
Informações dadas e o que precisa ser encontrado:
- A função racional no domínio de
tem denominador . - O objetivo é encontrar
, ou seja, a função no domínio do tempo cuja transformada de Laplace é . - Não há outras informações/condições adicionais; assumir a transformada unilateral usual para
.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador quadrático para simplificar a decomposição em frações parciais.
Portanto
Passo 3
Vamos decompor
em frações parciais no formato
onde
são constantes a determinar. A justificativa: uma razão racional própria cujo denominador é produto de fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de termos da forma
.
Passo 4
Método eficiente (cover-up) para obter
. Para cada polo simples
multiplica-se por
e avalia em
.
Cálculo de
(polo em
):
Cálculo de
(polo em
):
Cálculo de
(polo em
):
Passo 5
Conferência rápida somando
(opcional, serve para checar aritmética):
o que é consistente com o coeficiente
nulo no numerador (verificação adicional).
Portanto a decomposição é
Passo 6
Agora aplicamos as transformadas inversas básicas. Lembretes (pares transformada/inversa úteis):
-
, logo . -
, logo .
Cada termo da decomposição corresponde a um desses pares com um coeficiente multiplicando.
Passo 7
Aplicando as transformadas inversas termo a termo:
Passo 8
Somando os termos obtém-se a solução no domínio do tempo, válida para
: