Encontre a Transformada de Laplace das equações diferenciais abaixo e consequentemente a sua função de transferência H(s). Considere as condições iniciais nulas.
\left(D^{3}+9 D^{2}+23 D+15\right) y(t)=\left(2 D^{2}+12 D+16\right) x(t)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear com condições iniciais nulas e pede (a) a Transformada de Laplace da equação e (b) a função de transferência H(s). A equação dada é:
\left(D^{3}+9 D^{2}+23 D+15\right) y(t)=\left(2 D^{2}+12 D+16\right) x(t)
Condições iniciais: todas nulas (ou seja, y(0)=y'(0)=y''(0)=0). O que se quer:
  • escrever a equação no domínio de s (usar Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\});
  • obter H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}.

Passo 2

Relembrando a regra básica que vamos usar (explicação passo a passo):
  • A transformada de Laplace é linear: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Para derivadas, com condições iniciais em zero, vale a identidade (mostrando e explicando cada símbolo): \mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s)-s^{n-1}y(0)-\cdots - y^{(n-1)}(0).Aqui y^{(n)} é a n-ésima derivada de y(t) e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Como todas as condições iniciais são nulas, essa fórmula simplifica para \mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s).
  • O mesmo vale para x(t): \mathcal{L}\{x^{(n)}(t)\}=s^{n}X(s) quando as condições iniciais de x também são nulas (ou quando só precisamos da relação entre X e Y).

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace termo a termo à equação original e usando as simplificações acima (cada passo em detalhe):
  • Transformando o lado esquerdo: \mathcal{L}\{D^{3}y\}+\;9\mathcal{L}\{D^{2}y\}+\;23\mathcal{L}\{Dy\}+\;15\mathcal{L}\{y\} = s^{3}Y(s)+9s^{2}Y(s)+23sY(s)+15Y(s).Colocando em evidência Y(s): \bigl(s^{3}+9s^{2}+23s+15\bigr)Y(s).
  • Transformando o lado direito: 2\mathcal{L}\{D^{2}x\}+12\mathcal{L}\{Dx\}+16\mathcal{L}\{x\} = 2s^{2}X(s)+12sX(s)+16X(s).Colocando em evidência X(s): \bigl(2s^{2}+12s+16\bigr)X(s).
  • Logo, a equação transformada é \bigl(s^{3}+9s^{2}+23s+15\bigr)Y(s)=\bigl(2s^{2}+12s+16\bigr)X(s).

Passo 4

Agora isolamos a função de transferência H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}. Dividindo ambos os lados por X(s) e pelo polinômio do lado esquerdo:
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{2s^{2}+12s+16}{s^{3}+9s^{2}+23s+15}.
É útil apresentar H(s) fatorada (mais clara para análise no exame). Fatorando numerador e denominador passo a passo:
  • Numerador: fator comum 2, 2s^{2}+12s+16 = 2\bigl(s^{2}+6s+8\bigr)=2(s+2)(s+4).
  • Denominador: testar raízes inteiras; s=-1 é raiz pois (-1)^{3}+9(-1)^{2}+23(-1)+15 = -1+9-23+15=0.Dividindo o polinômio s^{3}+9s^{2}+23s+15 por (s+1) obtemos o quociente s^{2}+8s+15, que fatoriza como (s+3)(s+5). Assim s^{3}+9s^{2}+23s+15=(s+1)(s+3)(s+5).
  • Portanto a forma fatorada é H(s)=\frac{2(s+2)(s+4)}{(s+1)(s+3)(s+5)}.

Passo 5

Resumo final e dica rápida para prova: apresente sempre a equação transformada linear em Y(s) e X(s) (mostra que aplicou corretamente a Laplace) e depois a expressão de H(s). Quando possível, entregue H(s) fatorada — facilita identificação de polos e zeros. Boa! Você conseguiu — repete esse procedimento em outros exercícios para fixar.

Resposta

\bigl(s^{3}+9s^{2}+23s+15\bigr)Y(s)=\bigl(2s^{2}+12s+16\bigr)X(s)\n
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{2s^{2}+12s+16}{s^{3}+9s^{2}+23s+15}=\frac{2(s+2)(s+4)}{(s+1)(s+3)(s+5)}.

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