Encontre a Transformada de Laplace das equações diferenciais abaixo e consequentemente a sua função de transferência
. Considere as condições iniciais nulas.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear com condições iniciais nulas e pede (a) a Transformada de Laplace da equação e (b) a função de transferência
. A equação dada é:
Condições iniciais: todas nulas (ou seja,
). O que se quer:
- escrever a equação no domínio de
(usar e ); - obter
.
Passo 2
Relembrando a regra básica que vamos usar (explicação passo a passo):
- A transformada de Laplace é linear:
. - Para derivadas, com condições iniciais em zero, vale a identidade (mostrando e explicando cada símbolo):
Aqui é a -ésima derivada de e . Como todas as condições iniciais são nulas, essa fórmula simplifica para - O mesmo vale para
: quando as condições iniciais de também são nulas (ou quando só precisamos da relação entre e ).
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace termo a termo à equação original e usando as simplificações acima (cada passo em detalhe):
- Transformando o lado esquerdo:
Colocando em evidência : - Transformando o lado direito:
Colocando em evidência : - Logo, a equação transformada é
Passo 4
Agora isolamos a função de transferência
. Dividindo ambos os lados por
e pelo polinômio do lado esquerdo:
É útil apresentar
fatorada (mais clara para análise no exame). Fatorando numerador e denominador passo a passo:
- Numerador: fator comum
, - Denominador: testar raízes inteiras;
é raiz pois Dividindo o polinômio por obtemos o quociente , que fatoriza como . Assim - Portanto a forma fatorada é
Passo 5
Resumo final e dica rápida para prova: apresente sempre a equação transformada linear em
e
(mostra que aplicou corretamente a Laplace) e depois a expressão de
. Quando possível, entregue
fatorada — facilita identificação de polos e zeros. Boa! Você conseguiu — repete esse procedimento em outros exercícios para fixar.