Encontre a Transformada Inversa de Laplace de 2 s+5s^2+5 s+6 tal que:
o sistema seja não-causal

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é:
“Encontre a transformada inversa de Laplace de
X(s)=2s+5s^2+5s+6
considerando que o sistema é não-causal.”
Conteúdo principal: transformada inversa de Laplace, decomp. em frações parciais e escolha correta de sinais (‘causal’ vs ‘não-causal’). Vamos precisar também da tabela básica:
  • L⁻¹{1/(s+a)} = e^(–a t)·u(t) se for causal
  • L⁻¹{1/(s+a)} = –e^(–a t)·u(–t) se for não-causal

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador e fazemos frações parciais.
s^2+5s+6 = (s+2)(s+3)
Então escrevemos
2s+5(s+2)(s+3) = As+2 + Bs+3
Multiplicando tudo por 2s+5 = A(s+3) + B(s+2) :
A s + 3A + B s + 2B = (A+B),s + (3A+2B)
Desenvolvendo e juntando termos em A + B = 2, 3A + 2B = 5 :
3A + 2(2-A) = 5 ;Rightarrow;3A +4 -2A =5 ;Rightarrow;A=1,
Comparando coeficientes com X(s) = 1s+2 + 1s+3 :
Resolvendo: da 1ª equação vem . Substituindo na 2ª:
logo .
Portanto

Passo 3

Se fosse causal (ROC: Re{s} > -2), cada fração vira ROC: Res < -3 ou L^-11s+a = -,e^-a t,u(-t) .
Mas como é não-causal, a região de convergência é à esquerda do polo mais à esquerda, ou seja
Para sinais anti-causais usamos:

Passo 4

Aplicando isso às nossas duas frações:
L^-1tfrac1s+2 = -,e^-2tu(-t), L^-1tfrac1s+3 = -,e^-3tu(-t)

Resposta

x(t) = -l(e^-2t + e^-3tr),u(-t)

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