Encontre a Transformada de Laplace e a Região de Convergência da seguinte função:
t e^-t u(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a Transformada de Laplace de
f(t) = t·e^(–t)·u(t)
e também determinar a Região de Convergência (ROC).
O assunto é Transformada de Laplace, que a gente resolve integrando de 0 até ∞ o produto da função por e^(–s·t). Vamos precisar:
  • Definição da Transformada de Laplace
  • Saber cuidar da integral envolvendo t·e^(–a t) (às vezes usando integração por partes ou lembrando de fórmula pronta)
  • Entender como achar a ROC (condição de convergência da integral)

Passo 2

Primeiro, escreve a definição:
F(s) ;=; Lf(t) ;=; integral0^infty f(t),e^-s t,dt
Aqui f(t)=t·e^{–t}·u(t), mas como u(t)=1 pra t≥0, vira:
F(s) ;=; integral0^infty t,e^-t,e^-s t,dt ;=;integral0^infty t,e^-(s+1),t,dt

Passo 3

Agora precisamos calcular
integral0^infty t,e^-a t,dt com;a = s+1
Esse é um integral clássico. A gente pode usar integração por partes:
  • Seja u = t ⇒ du = dt
  • Seja dv = e^{-a t}dt ⇒ v = -\frac{1}{a}e^{-a t}
    Então
integral0^infty t,e^-a tdt = l tl(-1ae^-a tr)r|0^infty - integral0^infty 1cdotl(-1ae^-a tr)dt
O primeiro termo zero no infinito (se Re(a)>0) e é zero em t=0, então some zero.
O segundo fica
1aintegral0^infty e^-a tdt = 1a,l[;-1ae^-a tr]0^infty = 1acdot1a = 1a^2

Passo 4

Aplicando ao nosso caso, a = s+1, então
F(s) = 1(s+1)^2,
desde que a parte real de a seja positiva, ou seja Re(s+1)>0.

Passo 5

A Região de Convergência (ROC) vem dessa condição de convergência do integral:
Re(s+1) > 0 ;Longrightarrow; Re(s) > -1

Resposta

Transformada de Laplace:
boxedF(s) ;=;1(s+1)^2,
Região de Convergência:
boxedRe(s) > -1

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