Encontre a Transformada de Laplace e a Região de Convergência da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a Transformada de Laplace de
f(t) = t·e^(–t)·u(t)
e também determinar a Região de Convergência (ROC).
O assunto é Transformada de Laplace, que a gente resolve integrando de 0 até ∞ o produto da função por e^(–s·t). Vamos precisar:
O assunto é Transformada de Laplace, que a gente resolve integrando de 0 até ∞ o produto da função por e^(–s·t). Vamos precisar:
- Definição da Transformada de Laplace
- Saber cuidar da integral envolvendo t·e^(–a t) (às vezes usando integração por partes ou lembrando de fórmula pronta)
- Entender como achar a ROC (condição de convergência da integral)
Passo 2
Primeiro, escreve a definição:
Aqui f(t)=t·e^{–t}·u(t), mas como u(t)=1 pra t≥0, vira:
Passo 3
Agora precisamos calcular
Esse é um integral clássico. A gente pode usar integração por partes:
- Seja u = t ⇒ du = dt
- Seja dv = e^{-a t}dt ⇒ v = -\frac{1}{a}e^{-a t}
Então
O primeiro termo zero no infinito (se Re(a)>0) e é zero em t=0, então some zero.
O segundo fica
O segundo fica
Passo 4
Aplicando ao nosso caso, a = s+1, então
desde que a parte real de a seja positiva, ou seja Re(s+1)>0.
Passo 5
A Região de Convergência (ROC) vem dessa condição de convergência do integral:
Resposta
Transformada de Laplace:
Região de Convergência: