Encontre a Transformada Inversa de Laplace de 2 s+5s^2+5 s+6 tal que:
o sistema seja causal

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar a Transformada Inversa de Laplace de
F(s) ;=;2s+5s^2+5s+6
pra um sistema causal (ou seja, a resposta vale só para e vai ter um no final).
Conteúdo: Transformada Inversa de Laplace usando frações parciais.
O que precisamos saber:
  • Como fatorar um polinômio quadrático.
  • Como decompor em frações parciais: escrever .
  • Que .

Passo 2

Primeiro, fatorar o denominador:
s^2 + 5s + 6 = (s+2)(s+3)
Então dá pra reescrever
2s+5s^2+5s+6 ;=; 2s+5(s+2)(s+3) ;=; As+2+Bs+3

Passo 3

Agora a gente acha 2s+5(s+2)(s+3) = As+2 + Bs+3 ;Longrightarrow; 2s+5 = A(s+3) + B(s+2) e 2s+5 = (A+B),s + (3A + 2B) :
A + B = 2, 3A + 2B = 5
Expandindo:
(3A+2B)-(2A+2B) = 5-4 ;Longrightarrow; A = 1
Comparando coeficientes em 2s+5(s+2)(s+3) = 1s+2 + 1s+3 e termo constante:
Daí:
  • .
  • .
Multiplica a primeira por 2: . Subtrai da segunda:
E se , da vem .
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Passo 4

Agora a gente aplica a transformada inversa sabendo que
L^-11s+2 = e^-2t,u(t), L^-11s+3 = e^-3t,u(t) .
Então
f(t) = e^-2t,u(t) + e^-3t,u(t)
Por linearidade:

Resposta

boxed f(t) = l(e^-2t + e^-3tr),u(t)

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