Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - As constantes
e são parâmetros (assuma reais). - A variável de tempo é
. - Queremos a transformada de Laplace em função do parâmetro
(geralmente complexo). - Não há figura nem dados adicionais.
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e montagem da integral:
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
Aqui
é a variável complexa da transformada e a integral converge quando o integrando decai suficientemente rápido quando
.
- Para
substituímos na definição:
- Observação importante sobre convergência: para que essa integral converja precisamos que a parte real de
seja positiva, isto é ou equivalentemente . Vou manter isso em mente e usar essa condição no final.
Passo 3
Usando a propriedade de deslocamento (explicação didática):
- Há uma propriedade muito útil: para qualquer função
com transformada vale
- Prova curta dessa propriedade: escrevendo a definição,
que é exatamente a definição de
. Portanto, basta conhecer
e substituir
.
Passo 4
Calcular
passo a passo (a base):
- Começamos pela integral
- Uma maneira elegante é usar a identidade
(parte real da exponencial complexa). Então
- A integral exponencial é simples (quando
):
Aqui usamos que
quando
se
.
- Agora tomamos a parte real de
. Escrevendo
a parte real é
- Logo concluímos
Passo 5
Aplicar a propriedade de deslocamento para obter a transformada pedida:
- Pela propriedade do Passo 3, para
basta substituir por na transformada da cosseno. Assim
- Condição de convergência: como dito no Passo 2 e usada implicitamente, precisamos de
, isto é .
Passo 6
Dica prática e memória para a prova:
- Fórmula mnemônica: “o
do numerador vira quando aparece multiplicando a função” — então lembre que para o numerador era , então vira . - Regra rápida recordando:
e .
Resposta
Condição de convergência: