Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
e^{a x} \cos (b x)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função \\ e^{a x}\cos(bx).
Informações relevantes dadas:
  • A função é \\ f(x)=e^{a x}\cos(bx).
  • As constantes \\ a e \\ b são parâmetros (assuma reais).
  • A variável de tempo é \\ x\ge 0.
  • Queremos a transformada de Laplace em função do parâmetro \\ s (geralmente complexo).
  • Não há figura nem dados adicionais.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e montagem da integral:
  • A transformada de Laplace de uma função \\ f(x) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} f(x)\,dx.
Aqui \\ s é a variável complexa da transformada e a integral converge quando o integrando decai suficientemente rápido quando x\to\infty.
  • Para \\ f(x)=e^{a x}\cos(bx) substituímos na definição:
\mathcal{L}\{e^{a x}\cos(bx)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} e^{a x}\cos(bx)\,dx = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)x}\cos(bx)\,dx.
  • Observação importante sobre convergência: para que essa integral converja precisamos que a parte real de \\ s-a seja positiva, isto é \\ \Re(s-a)>0 ou equivalentemente \\ \Re(s)>a. Vou manter isso em mente e usar essa condição no final.

Passo 3

Usando a propriedade de deslocamento (explicação didática):
  • Há uma propriedade muito útil: para qualquer função \\ g(x) com transformada \\ G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s) vale
\mathcal{L}\{e^{a x}g(x)\}(s)=G(s-a).
  • Prova curta dessa propriedade: escrevendo a definição,
\mathcal{L}\{e^{a x}g(x)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} e^{a x} g(x)\,dx=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)x} g(x)\,dx,
que é exatamente a definição de G(s-a). Portanto, basta conhecer \mathcal{L}\{\cos(bx)\}(s) e substituir \\ s\mapsto s-a.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{\cos(bx)\}(s) passo a passo (a base):
  • Começamos pela integral
\mathcal{L}\{\cos(bx)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\cos(bx)\,dx.
  • Uma maneira elegante é usar a identidade \\ \cos(bx)=\Re(e^{i b x}) (parte real da exponencial complexa). Então
\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\cos(bx)\,dx=\Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-s x} e^{i b x}\,dx\right) =\Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i b)x}\,dx\right).
  • A integral exponencial é simples (quando \Re(s)>0):
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i b)x}\,dx=\left[\frac{e^{-(s-i b)x}}{-(s-i b)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-i b}.
Aqui usamos que e^{-(s-i b)x}\to 0 quando x\to\infty se \Re(s)>0.
  • Agora tomamos a parte real de \dfrac{1}{s-i b}. Escrevendo
\frac{1}{s-i b}=\frac{s+i b}{s^{2}+b^{2}},
a parte real é
\Re\!\left(\frac{1}{s-i b}\right)=\frac{s}{s^{2}+b^{2}}.
  • Logo concluímos
\mathcal{L}\{\cos(bx)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+b^{2}},\qquad \Re(s)>0.

Passo 5

Aplicar a propriedade de deslocamento para obter a transformada pedida:
  • Pela propriedade do Passo 3, para \\ f(x)=e^{a x}\cos(bx) basta substituir s por s-a na transformada da cosseno. Assim
\mathcal{L}\{e^{a x}\cos(bx)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
  • Condição de convergência: como dito no Passo 2 e usada implicitamente, precisamos de \Re(s-a)>0, isto é \Re(s)>a.

Passo 6

Dica prática e memória para a prova:
  • Fórmula mnemônica: “o s do numerador vira s-a quando aparece e^{a x} multiplicando a função” — então lembre que para \cos(bx) o numerador era s, então vira s-a.
  • Regra rápida recordando: \mathcal{L}\{\cos(bx)\}=\dfrac{s}{s^{2}+b^{2}} e \mathcal{L}\{e^{a x}f(x)\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s-a).

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{a x}\cos(bx)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}} \
Condição de convergência: \displaystyle \Re(s)>a

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