Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função a transformar é
, onde é um inteiro não-negativo (assumo isso, pois faz sentido no contexto) e é uma constante real. - A transformada de Laplace que queremos é, por definição,
com a região de convergência normalmente
.
- Não há outras restrições dadas pelo enunciado.
Passo 2
Vou lembrar e provar uma propriedade muito útil (útil na prova também): multiplicar por
no tempo corresponde a derivar
vezes, com sinal alternado, no domínio
. Ou seja,
onde
.\n
Explicação didática e prova curta (para você entender bem): comece com . Usamos diferenciação sob o sinal de integral (justificável quando
existe e algumas condições de regularidade valem; na prática, para
com parte real positiva e funções exponenciais/trigonométricas é permitido):
Explicação didática e prova curta (para você entender bem): comece com
Logo
. Repetindo o argumento por indução obtemos a fórmula geral acima com o fator
.\n
Significado das variáveis: é o parâmetro da transformada (geralmente
com
grande o suficiente),
é a função original, e
a sua transformada.
Significado das variáveis:
Passo 3
Aplicamos a propriedade com
. Primeiro calculemos a transformada de
simples (caso base,
). Use a representação exponencial complexa para tornar a integral imediata:
então
A integral é geométrica:
Tomando a parte real:
Fazendo a soma de frações obtemos a forma usual real
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade do Passo 2 com
. Pela propriedade,
Isso já é uma forma correta e prática da resposta — na prova você pode deixar assim se pedirem expressão em termos de derivadas. Mas podemos dar uma forma explícita mais elegante e simples de manipular, usando a decomposição em termos de
que obtivemos no Passo 3:
Derivando
vezes a função
temos a regra direta:
Multiplicando por
(pela propriedade do Passo 2) e combinando os termos:
Substituindo a derivada geral:
Passo 5
Interpretação e forma alternativa (mais curta): a soma dos inversos conjugados é duas vezes a parte real do primeiro termo, então podemos escrever também
Lembre-se de mencionar a condição de convergência: esta expressão vale para
(região onde a transformada de Laplace da função cresce menos que exponencial suficiente).
Passo 6
Para fixar com exemplos concretos (útil na hora da prova), aqui vão alguns
pequenos com contas explícitas:
- Para
já vimos:
- Para
:
(Você pode conferir aplicando a fórmula com
e a soma das potências conjugadas.)
- Para
:
Esses exemplos mostram que a forma com derivadas ou a forma com
permitem obter expressões racionais em
e
que você pode calcular à mão na prova.
Resposta
válido para
.