Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
x^{n} \cos (a x)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função x^{n}\cos(ax).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a transformar é x^{n}\cos(ax), onde n é um inteiro não-negativo (assumo isso, pois faz sentido no contexto) e a é uma constante real.
  • A transformada de Laplace que queremos é, por definição,
\mathcal{L}\{x^{n}\cos(ax)\}(s)=\int_{0}^{\infty} x^{n}\cos(ax)\,e^{-s x}\,dx,
com a região de convergência normalmente \operatorname{Re}(s)>0.
  • Não há outras restrições dadas pelo enunciado.

Passo 2

Vou lembrar e provar uma propriedade muito útil (útil na prova também): multiplicar por x^{n} no tempo corresponde a derivar n vezes, com sinal alternado, no domínio s. Ou seja,
\mathcal{L}\{x^{n} f(x)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{d s^{n}}F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(x)e^{-s x}\,dx.\n
Explicação didática e prova curta (para você entender bem): comece com n=1. Usamos diferenciação sob o sinal de integral (justificável quando F(s) existe e algumas condições de regularidade valem; na prática, para s com parte real positiva e funções exponenciais/trigonométricas é permitido):
\frac{d}{d s}F(s)=\frac{d}{d s}\int_{0}^{\infty} f(x)e^{-s x}\,dx=\int_{0}^{\infty} f(x)\frac{\partial}{\partial s}e^{-s x}\,dx=\int_{0}^{\infty} f(x)(-x)e^{-s x}\,dx=-\mathcal{L}\{x f(x)\}(s).
Logo \mathcal{L}\{x f(x)\}(s)=-\frac{d}{d s}F(s). Repetindo o argumento por indução obtemos a fórmula geral acima com o fator (-1)^{n}.\n
Significado das variáveis: s é o parâmetro da transformada (geralmente s\in\mathbb{C} com \operatorname{Re}(s) grande o suficiente), f(x) é a função original, e F(s) a sua transformada.

Passo 3

Aplicamos a propriedade com f(x)=\cos(ax). Primeiro calculemos a transformada de \cos(ax) simples (caso base, n=0). Use a representação exponencial complexa para tornar a integral imediata:
\cos(ax)=\operatorname{Re}\big(e^{i a x}\big),
então
\mathcal{L}\{\cos(ax)\}(s)=\operatorname{Re}\Big(\mathcal{L}\{e^{i a x}\}(s)\Big)=\operatorname{Re}\Big(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)x}\,dx\Big).
A integral é geométrica:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)x}\,dx=\frac{1}{s-i a}\quad\text{(válido se \(\operatorname{Re}(s)>0\))}.á
Tomando a parte real:
\mathcal{L}\{\cos(ax)\}(s)=\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{s-i a}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-i a}+\frac{1}{s+i a}\right).
Fazendo a soma de frações obtemos a forma usual real
\mathcal{L}\{\cos(ax)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade do Passo 2 com f(x)=\cos(ax). Pela propriedade,
\mathcal{L}\{x^{n}\cos(ax)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{d s^{n}}\left(\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right).
Isso já é uma forma correta e prática da resposta — na prova você pode deixar assim se pedirem expressão em termos de derivadas. Mas podemos dar uma forma explícita mais elegante e simples de manipular, usando a decomposição em termos de s\pm i a que obtivemos no Passo 3:
\frac{s}{s^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-i a}+\frac{1}{s+i a}\right).
Derivando n vezes a função (s\pm i a)^{-1} temos a regra direta:
\frac{d^{n}}{d s^{n}}\left((s\pm i a)^{-1}\right)=(-1)^{n}n!\,(s\pm i a)^{-n-1}.
Multiplicando por (-1)^{n} (pela propriedade do Passo 2) e combinando os termos:
\mathcal{L}\{x^{n}\cos(ax)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{d s^{n}}\left(\frac{1}{2}\Big((s-i a)^{-1}+(s+i a)^{-1}\Big)\right).
Substituindo a derivada geral:
\mathcal{L}\{x^{n}\cos(ax)\}(s)=\frac{1}{2}n!\left((s-i a)^{-n-1}+(s+i a)^{-n-1}\right).

Passo 5

Interpretação e forma alternativa (mais curta): a soma dos inversos conjugados é duas vezes a parte real do primeiro termo, então podemos escrever também
\mathcal{L}\{x^{n}\cos(ax)\}(s)=n!\,\operatorname{Re}\!\left((s-i a)^{-n-1}\right).
Lembre-se de mencionar a condição de convergência: esta expressão vale para \operatorname{Re}(s)>0 (região onde a transformada de Laplace da função cresce menos que exponencial suficiente).

Passo 6

Para fixar com exemplos concretos (útil na hora da prova), aqui vão alguns n pequenos com contas explícitas:
  • Para n=0 já vimos:
\mathcal{L}\{\cos(ax)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
  • Para n=1:
\mathcal{L}\{x\cos(ax)\}(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right)=\frac{a^{2}-s^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
(Você pode conferir aplicando a fórmula com n!=1! e a soma das potências conjugadas.)
  • Para n=2:
\mathcal{L}\{x^{2}\cos(ax)\}(s)=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right)
\quad= \frac{2s(s^{2}-3a^{2})}{(s^{2}+a^{2})^{3}}.
Esses exemplos mostram que a forma com derivadas ou a forma com (s\pm i a)^{-n-1} permitem obter expressões racionais em s e a que você pode calcular à mão na prova.

Resposta

\mathcal{L}\{x^{n}\cos(ax)\}(s)=\frac{n!}{2}\left(\frac{1}{(s-i a)^{\,n+1}}+\frac{1}{(s+i a)^{\,n+1}}\right),
válido para \operatorname{Re}(s)>0.

Exercícios relacionados