Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é (onde
é um parâmetro real) e a variável é
.
Queremos encontrar , isto é, a função de
obtida pela transformada de Laplace.
Informações dadas: a função é
Queremos encontrar
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (a mini-aula):
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
Aqui
é a variável complexa da transformada; na prática de prova tratamos
como real e exigimos condições de convergência. Uma fórmula usada muitas vezes é
desde que
. Essa última é uma integral geométrica simples: integrar
de
a
dá
quando a parte real de
é positiva (para garantir que
vá a zero no infinito).
Passo 3
Identidade útil para
(explicando a origem):
A função cosseno hiperbólico é definida por combinações de exponenciais:
A função cosseno hiperbólico é definida por combinações de exponenciais:
Isso é prático porque a transformada de Laplace de exponenciais é direta usando a fórmula do passo anterior.
Passo 4
Aplicando a definição e a identidade:
Separando a constante
e somando integrais:
Simplificando os expoentes:
Passo 5
Avaliação das integrais (aplicando a fórmula do passo 2):
Usamos desde que
.
Usamos
Para a primeira integral temos
, logo precisa de
.
Para a segunda integral temos , logo precisa de
.
Assumindo real e maior que
, ambas condições são satisfeitas. Portanto
Para a segunda integral temos
Assumindo
Substituindo:
Passo 6
Simplificação algébrica final (passo a passo):
Somamos as frações com denominador comum :
Somamos as frações com denominador comum
Cancelando o
:
Passo 7
Condição de convergência e comentário final (mini-aula):
A derivação usou a integral de que exige
. Aqui isso implica
. Para
real isso se resume a
A derivação usou a integral de
Portanto a transformada existe para
(ou, em termos complexos, para
). Um exemplo rápido: se
, então
para
. Vai dar certo na prova se você lembrar: expande em exponenciais, integra cada uma e some.