Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
\operatorname{cosh} (b x)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função \operatorname{cosh}(bx).
Informações dadas: a função é \operatorname{cosh}(bx) (onde b é um parâmetro real) e a variável é x.
Queremos encontrar \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bx)\}(s), isto é, a função de s obtida pela transformada de Laplace.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (a mini-aula):
A transformada de Laplace de uma função f(x) é definida por
\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,f(x)\,dx.
Aqui s é a variável complexa da transformada; na prática de prova tratamos s como real e exigimos condições de convergência. Uma fórmula usada muitas vezes é
\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx=\frac{1}{a},
desde que \operatorname{Re}(a)>0. Essa última é uma integral geométrica simples: integrar e^{-ax} de 0 a \infty 1/a quando a parte real de a é positiva (para garantir que e^{-ax} vá a zero no infinito).

Passo 3

Identidade útil para \operatorname{cosh} (explicando a origem):
A função cosseno hiperbólico é definida por combinações de exponenciais:
\operatorname{cosh}(bx)=\frac{e^{bx}+e^{-bx}}{2}.
Isso é prático porque a transformada de Laplace de exponenciais é direta usando a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Aplicando a definição e a identidade:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\operatorname{cosh}(bx)\,dx =\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\frac{e^{bx}+e^{-bx}}{2}\,dx.
Separando a constante 1/2 e somando integrais:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-s x}e^{bx}\,dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-s x}e^{-bx}\,dx.
Simplificando os expoentes:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-(s-b)x}\,dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-(s+b)x}\,dx.

Passo 5

Avaliação das integrais (aplicando a fórmula do passo 2):
Usamos \int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx=\dfrac{1}{a} desde que \operatorname{Re}(a)>0.
Para a primeira integral temos a=s-b, logo precisa de \operatorname{Re}(s-b)>0.
Para a segunda integral temos a=s+b, logo precisa de \operatorname{Re}(s+b)>0.
Assumindo s real e maior que |b|, ambas condições são satisfeitas. Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-b)x}\,dx=\frac{1}{s-b}, \qquad \int_{0}^{\infty} e^{-(s+b)x}\,dx=\frac{1}{s+b}.
Substituindo:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+b}.

Passo 6

Simplificação algébrica final (passo a passo):
Somamos as frações com denominador comum (s-b)(s+b)=s^{2}-b^{2}:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s+b}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{s+b+s-b}{s^{2}-b^{2}}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{2s}{s^{2}-b^{2}}\right).
Cancelando o 2:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\frac{s}{s^{2}-b^{2}}.

Passo 7

Condição de convergência e comentário final (mini-aula):
A derivação usou a integral de e^{-ax} que exige \operatorname{Re}(a)>0. Aqui isso implica \operatorname{Re}(s\pm b)>0. Para b real isso se resume a
s>|b|.
Portanto a transformada existe para s>|b| (ou, em termos complexos, para \operatorname{Re}(s)>|b|). Um exemplo rápido: se b=2, então \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(2x)\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}-4} para s>2. Vai dar certo na prova se você lembrar: expande em exponenciais, integra cada uma e some.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\frac{s}{s^{2}-b^{2}},\quad s>|b|

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