Encontre a transformada de Laplace da função f(t)=t^3 e^-3 t utilizando derivada de transformadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar a transformada de Laplace da função . Isso envolve o conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente usando derivadas das transformadas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da definição da transformada de Laplace e de como aplicar derivadas nessa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da transformada de Laplace básica para Le^a t = 1s - a, onde s > a . Sabemos que:
Le^-3 t = 1s + 3
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, vamos considerar a função Lt^n f(t) = (-1)^n d^nd s^n Lf(t) . Sabemos que multiplicar por no domínio do tempo corresponde a tomar a -ésima derivada da transformada em relação a no domínio da transformação.
A propriedade é:
Aqui, e , cuja transformada já encontramos.

Passo 4

Aplicando a propriedade, temos:
Lt^3 e^-3 t = (-1)^3 d^3d s^3 ( 1s + 3 )
Simplificando Lt^3 e^-3 t = - d^3d s^3 ( 1s + 3 ) para :

Passo 5

Vamos calcular a terceira derivada de dd s ( 1s + 3 ) = - 1(s + 3)^2 em relação a d^2d s^2 ( 1s + 3 ) = 2(s + 3)^3 . Primeiro, calculemos a primeira derivada:
d^3d s^3 ( 1s + 3 ) = - 6(s + 3)^4
Segunda derivada:
Terceira derivada:

Passo 6

Substituindo a terceira derivada na expressão anterior:
Lt^3 e^-3 t = - ( - 6(s + 3)^4 ) = 6(s + 3)^4

Resposta

A transformada de Laplace da função Lt^3 e^-3 t = 6(s + 3)^4 é:

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