Encontre a transformada de Laplace da função
utilizando derivada de transformadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar a transformada de Laplace da função
. Isso envolve o conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente usando derivadas das transformadas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da definição da transformada de Laplace e de como aplicar derivadas nessa transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da transformada de Laplace básica para
. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, vamos considerar a função
. Sabemos que multiplicar por
no domínio do tempo corresponde a tomar a
-ésima derivada da transformada em relação a
no domínio da transformação.
A propriedade é:
Aqui,
e
, cuja transformada já encontramos.
Passo 4
Aplicando a propriedade, temos:
Simplificando
para
:
Passo 5
Vamos calcular a terceira derivada de
em relação a
. Primeiro, calculemos a primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 6
Substituindo a terceira derivada na expressão anterior:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: