Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos:
Um cone circular reto de altura h e raio da base r.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume de um cone circular reto de altura h e raio da base r usando o método das cascas cilíndricas. Vamos precisar da expressão para a altura do cone em função da distância radial x, do conceito de casca cilíndrica e da integral de volume.

Passo 2

Modelamos a seção geratriz do cone num plano cartesiano: a reta que une o vértice (0,h) à base em (r,0) dá a altura do cone como função de x. Por semelhança de triângulos,
f(x) = h(1 - xr)

Passo 3

Ao girar essa região em torno do eixo y, obtemos cascas cilíndricas de raio x, altura f(x) e espessura dx. O volume de cada casca é dado por
dV = 2pi,x,f(x),dx

Passo 4

Montamos a integral do volume somando as cascas de x=0 até x=r:
V = integral0^r 2pi,x,h(1 - xr),dx

Passo 5

Agora calculamos a integral passo a passo:
V = 2pi h integral0^r l(x - x^2rr) dx = 2pi h l[x^22 - x^33rr]0^r = 2pi h l(r^22 - r^33rr) = 2pi h l(r^22 - r^23r) = 2pi h cdot r^26 = pi r^2 h3

Passo 6

Assim, chegamos ao volume clássico do cone.

Resposta

V = tfracpi r^2 h3

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