Questão 1
Faça um resumo e uma descrição sobre as equações de Maxwell e os diferentes modelos que existem para resolver problemas deste tipo. Resolva um exemplo particular. Indique sua referência bibliográfica.

Passo 1

O enunciado pede um resumo e descrição das equações de Maxwell, apresentação dos diferentes modelos de solução (analíticos e numéricos), a resolução de um exemplo particular e a indicação de referência bibliográfica. Para isso, vamos precisar entender a forma diferencial e integral das equações de Maxwell, os pressupostos de cada modelo e aplicar tudo num exemplo de onda plana em vácuo.

Passo 2

As equações de Maxwell descrevem o comportamento dos campos elétrico E e magnético B. Na forma diferencial temos:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
nabla cdot B = 0
nabla times E = -partial Bpartial t
nabla times B = mu0 J + mu0 varepsilon0 partial Epartial t
Na forma integral elas se escrevem por meio de fluxos e circulações, mas o conteúdo físico é o mesmo: Gauss para eletricidade e magnetismo, Lei de Faraday e Lei de Ampère–Maxwell.

Passo 3

Para resolver problemas de eletromagnetismo há dois grandes grupos de modelos:
  1. Modelos analíticos: pressupõem meios contínuos, homogêneos e com simetria suficiente para permitir solução exata (por exemplo, guias de onda, antenas simples, ondas planas). Baseiam-se em ativos contornos e funções especiais (Bessel, Legendre etc.).
  2. Modelos numéricos: usados quando não há solução analítica. Incluem:
    • Método dos Elementos Finitos (FEM)
    • Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD)
    • Método dos Momentos (MoM)
    • Boundary Element Method (BEM)
    Cada um adapta Maxwell à equação de onda ou potencial vetorial e aplica discretizações adequadas.

Passo 4

Exemplo particular: onda eletromagnética plana em vácuo. Suponha campo elétrico polarizado em hat y dado por
E(x,t)=E0cos(kx-omega t),hat y
Usando Maxwell (Lei de Faraday) para obter B:
nablatimesE=-partial Bpartial t
Num plano unidimensional, obtemos
kE0sin(kx-omega t),hat z = -(-omega B0sin(kx-omega t)),hat z
Logo B0=E0/omega,k=E0/eta0, onde k=omegaraizmu0varepsilon0 e eta0=raizmu0/varepsilon0 é a impedância do vácuo. Assim
B(x,t)=E0eta0cos(kx-omega t),hat z
Verifica-se que essas expressões satisfazem as quatro equações de Maxwell em vácuo. Este é um caso clássico de solução analítica.

Passo 5

Referências bibliográficas utilizadas:
• Griffiths, D. J. Introduction to Electrodynamics, 4ª ed., Pearson, 2013.
• Jackson, J. D. Classical Electrodynamics, 3ª ed., Wiley, 1998.

Resposta

Referências bibliográficas:
Griffiths, D. J. Introduction to Electrodynamics, 4ª ed., Pearson, 2013.
Jackson, J. D. Classical Electrodynamics, 3ª ed., Wiley, 1998.

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