Encontre a transformada de Laplace das funções em cada item abaixo.
f(t)=\sin (a t), a \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \displaystyle f(t)=\sin(a t), com a\in\mathbb{R}.
O conteúdo que vamos usar é a definição da transformada de Laplace, que diz que, para uma função f(t) de crescimento exponencial limitado,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s\,t}\,f(t)\,dt,
válida para \Re(s)>0.

Passo 2

Aplicando a definição a f(t)=\sin(a t), escrevemos
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s\,t}\,\sin(a t)\,dt.
Para calcular essa integral, usamos integração por partes. Seja
u=\sin(a t),\quad dv=e^{-s t}\,dt
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du=a\cos(a t)\,dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Então
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\sin(a t)\,dt =\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-s t}\sin(a t)\Bigr]_{0}^{\infty} +\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cos(a t)\,dt.
O termo de fronteira vale zero (pois e^{-s t}\sin(a t)\to0 quando t\to\infty para \Re(s)>0 e em t=0 é nulo). Resta
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\sin(a t)\,dt =\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cos(a t)\,dt.
Conhecemos também (por definição ou outra integração por partes) que
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cos(a t)\,dt =\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\quad(\Re(s)>0).
Logo
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s) =\frac{a}{s}\,\frac{s}{s^{2}+a^{2}} =\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 3

Portanto a transformada de Laplace existe e convergente para \Re(s)>0.

Resposta

\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s) =\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\quad \Re(s)>0.

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