Encontre a transformada de Laplace das funções usando o problema 1: f(t) = t cos(a t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a transformada de Laplace da função . Estamos lidando com transformadas de Laplace, que são ferramentas matemáticas usadas para transformar funções do tempo para o domínio da frequência . Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades específicas que facilitam o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace. A transformada de uma função é dada por:
No nosso caso, . Vamos substituir isso na definição:

Passo 3

Calcular essa integral diretamente pode ser complicado, mas existe uma propriedade da transformada de Laplace que nos ajuda quando temos multiplicando uma função. A propriedade é:
Isso significa que a transformada de é igual à derivada negativa da transformada de em rela��ão a .

Passo 4

Primeiro, precisamos saber qual é a transformada de . Sabemos que:
Agora, de acordo com a propriedade que mencionamos, vamos derivar essa expressão em relação a .

Passo 5

Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 6

Agora, aplicando a propriedade da transformada de Laplace que envolve a multiplicação por :

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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