Use a transformada de Laplace para calcular a integral imprópria
integral0^infty t e^-2 t sen 4 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é uma integral imprópria usando a transformada de Laplace. O enunciado que temos é:
integral0^infty t e^-2 t sin 4 t , dt
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e trigonométricas, e vamos usar conceitos de transformada de Laplace para simplificar essa integração.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt é definida como:
No nosso caso, temos e o termo pode ser visto como parte da função de transformação, ou seja, .

Passo 3

Vamos encontrar a transformada de Laplace de Lt sin at = 2 a s(s^2 + a^2)^2 . Sabemos que:
Lt sin 4t = 2 cdot 4 cdot s(s^2 + 16)^2 = 8s(s^2 + 16)^2
Aqui, . Então, substituindo:

Passo 4

Agora, nosso integral original pode ser reescrito usando a transformada de Laplace com integral0^infty t e^-2 t sin 4 t , dt = Lt sin 4t gr|s=2 :
Lt sin 4t gr|s=2 = 8 cdot 2(2^2 + 16)^2 = 16(4 + 16)^2 = 16400 = 125
Substituindo o valor de :

Resposta

O valor da integral é .

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