Calcular
, onde
é delimitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume da região
delimitada pelas superfícies
e
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais triplas na matéria de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher as coordenadas mais adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. As equações
e
representam dois cilindros circulares de raio
, um alinhado no eixo
e outro no eixo
. A interseção dessas duas superfícies forma o que é conhecido como sólido de Steinmetz.
Passo 3
Para calcular o volume usando uma integral tripla
, precisamos escolher o sistema de coordenadas mais conveniente. Nesse caso, vamos utilizar coordenadas cilíndricas porque as equações dos cilindros se adaptam bem a esse sistema.
Passo 4
Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é
.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Observando as equações dos cilindros:
Substituindo
e
pelas coordenadas cilíndricas:
Isso implica que:
Portanto,
varia de
a
.
Passo 6
Para simplificar, vamos considerar apenas a parte positiva de
e depois multiplicar o resultado por 2 devido à simetria. Além disso, o raio
varia de 0 a
, e o ângulo
varia de 0 a
.
Passo 7
Agora, montamos a integral tripla:
Passo 8
Integrando em relação a
:
Essa integral pode ser resolvida usando substituições adequadas ou reconhecendo a simetria do sólido.
Passo 9
Finalmente, após resolver a integral, encontramos que o volume do sólido de Steinmetz é:
Resposta
O volume da região
é
.