Calcular integral triplaT d V, onde T é delimitada por x^2+z^2=a^2 e y^2+z^2=a^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume da região delimitada pelas superfícies e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais triplas na matéria de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher as coordenadas mais adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As equações e representam dois cilindros circulares de raio , um alinhado no eixo e outro no eixo . A interseção dessas duas superfícies forma o que é conhecido como sólido de Steinmetz.

Passo 3

Para calcular o volume usando uma integral tripla , precisamos escolher o sistema de coordenadas mais conveniente. Nesse caso, vamos utilizar coordenadas cilíndricas porque as equações dos cilindros se adaptam bem a esse sistema.

Passo 4

Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume é .

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Observando as equações dos cilindros:
x^2 + z^2 <= a^2 e y^2 + z^2 <= a^2
Substituindo r^2 cos^2 theta + z^2 <= a^2 e r^2 sin^2 theta + z^2 <= a^2 e z^2 <= a^2 - r^2 cos^2 theta e z^2 <= a^2 - r^2 sin^2 theta pelas coordenadas cilíndricas:
Isso implica que:
Portanto, varia de a .

Passo 6

Para simplificar, vamos considerar apenas a parte positiva de e depois multiplicar o resultado por 2 devido à simetria. Além disso, o raio varia de 0 a , e o ângulo varia de 0 a .

Passo 7

Agora, montamos a integral tripla:
V = 2 integral0^2pi integral0^a integral0^raiza^2 - r^2 cos^2 theta r , dz , dr , dtheta

Passo 8

Integrando em relação a V = 2 integral0^2pi integral0^a r raiza^2 - r^2 cos^2 theta , dr , dtheta :
Essa integral pode ser resolvida usando substituições adequadas ou reconhecendo a simetria do sólido.

Passo 9

Finalmente, após resolver a integral, encontramos que o volume do sólido de Steinmetz é:
V = 163 a^3

Resposta

O volume da região é .

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