Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=e^-s+e^-2s-e^-3s-e^-4ss
O tópico principal é a propriedade de deslocamento no tempo (time-shift) na transformada de Laplace, e vamos usar que a transformada de Laplace do degrau unitário deslocado u(t-a) é
Lu(t-a)(s)=e^-ass

Passo 2

Lembrando a derivação rápida de
Lu(t-a)(s) =integral0^inftyu(t-a),e^-st,dt =integrala^inftye^-st,dt =l[-1se^-str]t=a^t=infty =e^-ass,
vemos que
L^-1!le^-assr(t)=u(t-a)

Passo 3

Pela linearidade da transformada inversa, basta aplicar essa propriedade termo a termo em
F(s)=e^-ss+e^-2ss-e^-3ss-e^-4ss
Assim obtemos as funções correspondentes:
L^-1!le^-ssr=u(t-1), L^-1!le^-2ssr=u(t-2),
L^-1!le^-3ssr=u(t-3), L^-1!le^-4ssr=u(t-4)

Passo 4

Juntando tudo pela linearidade com os sinais corretos, a transformada inversa é
f(t)=u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)-u(t-4)

Passo 5

Se quisermos escrever f(t) de forma piecewise, notamos que cada u(t-a) vale 0 para t<a e vale 1 para t>= a. Assim
f(t)= 0,& t<1, 1,& 1<= t<2, 2,& 2<= t<3, 1,& 3<= t<4, 0,& t>= 4

Resposta

f(t)=u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)-u(t-4)

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