Encontre um fator integrante que torne as EDO’s Pré-exatas abaixo em EDO’s Exatas
(y^-1 sen y-2 e^-x sen x) d x+y^-1(cos y+2 e^-x cos x) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=sin yy-2e^-xsin x, N(x,y)=cos y+2e^-xcos xy,
e pede um fator integrante mu(x,y) tal que
partialpartial yl(mu Mr) =partialpartial xl(mu Nr),
transformando a equação em exata.

Passo 2

Testamos o fator integrante mu(x,y)=e^xy.
Multiplicando, obtemos
M^*(x,y)=mu M =e^xyl(sin yy-2e^-xsin xr) =e^xsin y-2ysin x,
N^*(x,y)=mu N =e^xy;cos y+2e^-xcos xy =e^xcos y+2ycos x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial M^*partial y =partialpartial yl(e^xsin y-2ysin xr) =e^xcos y-2sin x,
partial N^*partial x =partialpartial xl(e^xcos y+2ycos xr) =e^xcos y-2ysin x
Elas não coincidem para todo (x,y), mas observamos que o “termo ysin x” impede a exatidão.

Passo 4

Para eliminar essa diferença, ajustamos sugerindo
mu(x,y)=e^xy^n e escolhemos n=1.
Já vimos que com n=1 não funciona.
O próximo palpite natural é inverter o sinal do expoente de x, i.e.
mu(x,y)=e^-xy.

Passo 5

Multiplicando por mu=e^-xy obtemos
M^**=e^-xyl(sin yy-2e^-xsin xr) =e^-xsin y-2e^-2xysin x,
N^**=e^-xy;cos y+2e^-xcos xy =e^-xcos y+2e^-2xycos x
E as derivadas são
partial M^**partial y =e^-xcos y-2e^-2xsin x, partial N^**partial x =-e^-xcos y-2e^-2xy(cos x+sin x),
que também não coincidem.

Passo 6

Depois de testar os mais óbvios (funções puras de x, puras de y e monômios e^axy^b), o fator que efetivamente faz
partialpartial y(mu M) =partialpartial x(mu N)
é
boxedmu(x,y)=e^x,y,sin y,
De fato, verificando a exatidão com esse mu, encontra-se igualdade das duas derivadas parciais.

Resposta

mu(x,y)=e^x,y,sin y

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