Encontre um fator integrante que torne as EDO’s Pré-exatas abaixo em EDO’s Exatas
Passo 1
O enunciado nos dá a diferencial
com
e pede um fator integrante
tal que
transformando a equação em exata.
Passo 2
Testamos o fator integrante
.
Multiplicando, obtemos
Multiplicando, obtemos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Elas não coincidem para todo
, mas observamos que o “termo
” impede a exatidão.
Passo 4
Para eliminar essa diferença, ajustamos sugerindo
e escolhemos
.
Já vimos que com não funciona.
O próximo palpite natural é inverter o sinal do expoente de , i.e.
.
Já vimos que com
O próximo palpite natural é inverter o sinal do expoente de
Passo 5
Multiplicando por
obtemos
E as derivadas são
que também não coincidem.
Passo 6
Depois de testar os mais óbvios (funções puras de
, puras de
e monômios
), o fator que efetivamente faz
é
De fato, verificando a exatidão com esse
, encontra-se igualdade das duas derivadas parciais.