Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
F(s)=2 s-1(s^2-1)(4 s^2+4 s+5)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar a transformada de Laplace inversa de
F(s)=2s-1(s^2-1),(4s^2+4s+5)
O conteúdo que vamos usar inclui fatoração de polinômios, decomposição em frações parciais e as fórmulas conhecidas
L^-1ltfrac1s-ar=e^at,
L^-1ltfracs+a(s+a)^2+b^2r=e^-atcos(bt) e
L^-1ltfracb(s+a)^2+b^2r=e^-atsin(bt).

Passo 2

Fatoramos os denominadores:
s^2-1=(s-1)(s+1), 4s^2+4s+5=4l[(s+tfrac12)^2+1r]
Propomos a decomposição em frações parciais
2s-1(s-1)(s+1)(4s^2+4s+5) =As-1+Bs+1+Cs+D4s^2+4s+5

Passo 3

Multiplicando tudo por (s-1)(s+1)(4s^2+4s+5) obtemos a identidade
2s-1 = A(s+1)(4s^2+4s+5) + B(s-1)(4s^2+4s+5) + (Cs+D)(s^2-1)
Expandindo e agrupando coeficientes em potências de s chegamos ao sistema
4(A+B)+C=0, 4(A+B)+4(A-B)+D=0, 5(A+B)+4(A-B)-C=2, 5(A-B)-D=-1
Resolvendo, obtemos
A=126, B=310, C=-8865, D=-413

Passo 4

Logo a decomposição fica
F(s) =1/26s-1 +3/10s+1 +-tfrac8865,s-tfrac4134s^2+4s+5
Para inverter a parte quadrática escrevemos
-tfrac8865s-tfrac413 =-tfrac8865(s+tfrac12) +l(-tfrac413+tfrac4465r) =-tfrac8865(s+tfrac12)+tfrac2465
Assim
-tfrac8865,s-tfrac4134l[(s+tfrac12)^2+1r] =-2265,s+tfrac12(s+tfrac12)^2+1 +665,1(s+tfrac12)^2+1

Passo 5

Usando as fórmulas de transformada de Laplace inversa:
L^-1ltfrac1s-1r=e^t, L^-1ltfrac1s+1r=e^-t,
L^-1ltfracs+tfrac12(s+tfrac12)^2+1r =e^-t/2cos t, L^-1ltfrac1(s+tfrac12)^2+1r =e^-t/2sin t,
obtemos a solução
f(t) =126e^t +310e^-t -2265e^-t/2cos t +665e^-t/2sin t, t>=0

Resposta

f(t) =126e^t +310e^-t -2265e^-t/2cos t +665e^-t/2sin t

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