Encontre a transformada de Laplace da função dada.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= t, & 0<= t<1, t-1, & 1<= t<2, t-2, & 2<= t<3, 0, & t>=3
Para resolver precisamos usar a definição
Lf(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
e separar em três integrais sobre [0,1], [1,2] e [2,3].

Passo 2

Escrevemos
Lf(s) =integral0^1t,e^-stdt +integral1^2(t-1),e^-stdt +integral2^3(t-2),e^-stdt

Passo 3

Calculemos I1=integral0^1t,e^-stdt por partes, com
u=t, dv=e^-stdt. Então du=dt, v=-e^-sts, e
I1 =gl[-t,e^-stsgr]0^1 +integral0^1e^-sts,dt =-e^-ss +1sgl[-e^-stsgr]0^1 =1s^2-e^-sl(1s+1s^2r)

Passo 4

Para I2=integral1^2(t-1)e^-stdt fazemos a mudança de variável
tau=t-1. Quando t vai de 1 a 2, tau vai de 0 a 1, e
I2 =integral0^1tau,e^-s(tau+1)dtau =e^-sintegral0^1tau,e^-staudtau =e^-s,I1 =e^-sl(1s^2-e^-s(tfrac1s+tfrac1s^2)r)
De forma análoga, para I3=integral2^3(t-2)e^-stdt fazemos v=t-2, obtendo
I3 =e^-2sintegral0^1v,e^-svdv =e^-2s,I1 =e^-2sl(1s^2-e^-s(tfrac1s+tfrac1s^2)r)

Passo 5

Somando I1+I2+I3 e simplificando, chega-se a
Lf(s) =1-e^-3ss^2 -e^-s+e^-2s+e^-3ss

Resposta

boxed Lf(s) =1-e^-3ss^2 -e^-s+e^-2s+e^-3ss

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