Encontre a transformada de Laplace inversa da função: F(s)=\frac{s+3}{s^{2}-s-2}+\frac{8}{s^{3}\left(s^{2}-s-2\right)};

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=\frac{s+3}{s^{2}-s-2}+\frac{8}{s^{3}\left(s^{2}-s-2\right)}.
Informações explícitas dadas:
  • O numerador e denominador de F(s) estão fornecidos.
  • O fator quadrático do denominador pode ser fatorado como s^{2}-s-2=(s-2)(s+1).
  • Quer-se f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} (a função no domínio do tempo).

Passo 2

Estratégia (apenas descrição da sequência de ações que vamos aplicar, sem resolver ainda):
  • Usar a linearidade da transformada de Laplace para tratar os dois termos separadamente.
  • Simplificar o primeiro termo por frações parciais simples do tipo \dfrac{A}{s-2}+\dfrac{B}{s+1}.
  • Decompor o segundo termo por frações parciais do tipo \dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s^{2}}+\dfrac{C}{s^{3}}+\dfrac{D}{s-2}+\dfrac{E}{s+1}.
  • Aplicar as transformadas inversas conhecidas termo a termo:
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at},
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1,
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t,
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{3}}\right\}=\dfrac{t^{2}}{2}.
      Vou executar isso passo a passo.

Passo 3

Trabalhando o primeiro termo:
\frac{s+3}{s^{2}-s-2}=\frac{s+3}{(s-2)(s+1)}.
Fazemos a decomposição
\frac{s+3}{(s-2)(s+1)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando por (s-2)(s+1) obtemos
s+3 = A(s+1)+B(s-2).
Escolhendo valores convenientes de s:
  • Para s=2: 2+3=5= A(3)\Rightarrow A=\dfrac{5}{3}.
  • Para s=-1: -1+3=2= B(-3)\Rightarrow B=-\dfrac{2}{3}.
Portanto
\frac{s+3}{s^{2}-s-2}=\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{s-2}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s+1}.

Passo 4

Lembrete das transformadas inversas que vamos usar aqui (dou uma “aula rápida”):
  • \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} para \Re(s)>a. Portanto \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
  • Isso vale termo a termo por linearidade: \mathcal{L}^{-1}\{c\,G(s)\}=c\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.
    Aplicando ao resultado do Passo 3 obtemos a contribuição temporal do primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+3}{s^{2}-s-2}\right\}=\frac{5}{3}e^{2t}-\frac{2}{3}e^{-t}.

Passo 5

Agora o segundo termo:
\frac{8}{s^{3}(s-2)(s+1)}.
Vamos decompor em frações parciais na forma
\frac{8}{s^{3}(s-2)(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s^{3}}+\frac{D}{s-2}+\frac{E}{s+1}.
Multiplicando ambos os lados por s^{3}(s-2)(s+1) obtemos a identidade polinomial
8 = A s^{2}(s-2)(s+1)+ B s (s-2)(s+1)+ C (s-2)(s+1)+ D s^{3}(s+1)+ E s^{3}(s-2).

Passo 6

Para encontrar constantes rápidas, avaliamos em pontos que anulam fatores:
  • Em s=0:
8 = C(0-2)(0+1)=C(-2)\Rightarrow C=-4.
  • Em s=2:
8 = D\cdot 2^{3}(2+1)=D\cdot 8\cdot 3=24D\Rightarrow D=\frac{1}{3}.
  • Em s=-1:
8 = E\cdot(-1)^{3}(-1-2)=E\cdot(-1)(-3)=3E\Rightarrow E=\frac{8}{3}.

Passo 7

Agora determinamos [A) e B comparando coeficientes polinomiais. Expandindo os termos (onde (s-2)(s+1)=s^{2}-s-2) temos os coeficientes de potências de s:
  • coeficiente de s^{4}: A+D+E,
  • coeficiente de s^{3}: -A+B+D-2E,
  • coeficiente de s^{2}: -2A - B + C,
  • coeficiente de s^{1}: -2B - C,
  • termo constante: -2C.
Esses devem igualar os coeficientes do polinômio constante 8, isto é, todos coeficientes de s^{k} para k\ge1 são zero e o termo constante é 8. Assim temos o sistema
\begin{cases} A+D+E=0,\\[4pt] - A + B + D - 2E = 0,\\[4pt] -2A - B + C = 0,\\[4pt] -2B - C = 0,\\[4pt] -2C = 8. \end{cases}
Já usamos a última equação para achar C=-4\]. Substituindo para achar \(B:
-2B - C = 0 \Rightarrow -2B +4 =0 \Rightarrow B=2.
Depois, de -2A - B + C =0:
-2A - 2 -4 =0 \Rightarrow -2A -6=0 \Rightarrow A=-3.
As equações restantes servem como verificação; usando os valores encontrados obtemos A=-3, B=2, C=-4, D=\tfrac{1}{3}, E=\tfrac{8}{3}.]

Passo 8

Então a decomposição do segundo termo é
\frac{8}{s^{3}(s-2)(s+1)}=-\frac{3}{s}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{4}{s^{3}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-2}+\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{s+1}.
Agora aplicamos inversa termo a termo usando as transformadas básicas (relembrando: \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{2}\}=t, \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{3}\}=t^{2}/2, e já citadas para 1/(s-a)):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{3}{s}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{4}{s^{3}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-2}+\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{s+1}\right\} = -3 + 2t -4\cdot\frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{3}e^{2t} + \frac{8}{3}e^{-t}.
Simplificando o termo quadrático: -4\cdot\dfrac{t^{2}}{2}=-2t^{2}.

Passo 9

Somamos agora as contribuições do primeiro e do segundo termo (linearidade):
  • Do primeiro termo obtivemos \dfrac{5}{3}e^{2t}-\dfrac{2}{3}e^{-t}.
  • Do segundo termo obtivemos -3 + 2t -2t^{2} + \dfrac{1}{3}e^{2t} + \dfrac{8}{3}e^{-t}.
Somando as exponenciais:
\frac{5}{3}e^{2t}+\frac{1}{3}e^{2t}=2e^{2t}, \qquad -\frac{2}{3}e^{-t}+\frac{8}{3}e^{-t}=2e^{-t}.
Portanto a soma total é
f(t) = -2t^{2}+2t-3 + 2e^{2t} + 2e^{-t}.

Resposta

f(t)=-2t^{2}+2t-3+2e^{2t}+2e^{-t}

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