Lembrete das transformadas inversas que vamos usar aqui (dou uma “aula rápida”):
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} para \Re(s)>a. Portanto \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Isso vale termo a termo por linearidade: \mathcal{L}^{-1}\{c\,G(s)\}=c\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.
Aplicando ao resultado do Passo 3 obtemos a contribuição temporal do primeiro termo:
Agora determinamos [A) e B comparando coeficientes polinomiais. Expandindo os termos (onde (s-2)(s+1)=s^{2}-s-2) temos os coeficientes de potências de s:
coeficiente de s^{4}: A+D+E,
coeficiente de s^{3}: -A+B+D-2E,
coeficiente de s^{2}: -2A - B + C,
coeficiente de s^{1}: -2B - C,
termo constante: -2C.
Esses devem igualar os coeficientes do polinômio constante 8, isto é, todos coeficientes de s^{k} para k\ge1 são zero e o termo constante é 8. Assim temos o sistema
\begin{cases} A+D+E=0,\\[4pt] - A + B + D - 2E = 0,\\[4pt] -2A - B + C = 0,\\[4pt] -2B - C = 0,\\[4pt] -2C = 8. \end{cases}
Já usamos a última equação para achar C=-4\]. Substituindo para achar \(B:
Agora aplicamos inversa termo a termo usando as transformadas básicas (relembrando: \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{2}\}=t, \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{3}\}=t^{2}/2, e já citadas para 1/(s-a)):