Resolva a Edo linear:
, onde k é uma constante;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
onde
é uma constante. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
. -
é uma constante (pode ser positiva, negativa ou zero). - Não foi dada condição inicial, então devemos apresentar a solução geral contendo uma constante de integração.
O objetivo é encontrarem função de e de uma constante arbitrária.
Passo 2
Método escolhido e por quê (explicação curta e amigável).
Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo padrão
Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo padrão
com aqui
e
. O método mais direto é o fator integrante (integrating factor). A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada de
. Isso simplifica a equação para uma integral direta.
Passo 3
Encontrar o fator integrante
.
O fator integrante é
O fator integrante é
Explicando:
foi escolhida assim porque, pela regra do produto,
ou seja, multiplicando a equação original por
o lado esquerdo se torna exatamente essa derivada.
Passo 4
Multiplicar a equação pelo fator integrante e reescrever como derivada.
Multiplicando ambos os lados de
Multiplicando ambos os lados de
por
obtemos
Pela observação do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada:
Passo 5
Integrar ambos os lados em
.
Integramos em relação a :
Integramos em relação a
onde
é a constante de integração. Para calcular a integral observe que a derivada de
é
, logo
Portanto
Passo 6
Isolar
e interpretar a constante de integração.
Dividindo por obtemos a solução geral
Dividindo por
onde
é uma constante arbitrária (determina-se por condição inicial se houver). Observações úteis para a prova:
- Se for dada
, então substituindo dá , portanto
e a solução fica
- Comportamento assintótico: se
então quando , logo — isto é, é a solução de equilíbrio (steady state). Se há crescimento exponencial afastando-se de . Se a equação original reduz a e é uma constante arbitrária; a fórmula com dá , que é consistente (constante arbitrária).