Resolva a Edo linear: \frac{d T}{d t}+k T=100 k, onde k é uma constante;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
\frac{dT}{dt} + k\,T = 100\,k,
onde k é uma constante. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função T(t).
  • k é uma constante (pode ser positiva, negativa ou zero).
  • Não foi dada condição inicial, então devemos apresentar a solução geral contendo uma constante de integração.
    O objetivo é encontrar T(t) em função de t e de uma constante arbitrária.

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação curta e amigável).
Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo padrão
\frac{dT}{dt} + p(t)\,T = q(t),
com aqui p(t)=k e q(t)=100k. O método mais direto é o fator integrante (integrating factor). A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(t)T(t). Isso simplifica a equação para uma integral direta.

Passo 3

Encontrar o fator integrante \mu(t).
O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int k\,dt\right)=e^{kt}.
Explicando: \mu(t) foi escolhida assim porque, pela regra do produto,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{kt}T(t)\bigr)=e^{kt}\frac{dT}{dt}+k\,e^{kt}T(t),
ou seja, multiplicando a equação original por e^{kt} o lado esquerdo se torna exatamente essa derivada.

Passo 4

Multiplicar a equação pelo fator integrante e reescrever como derivada.
Multiplicando ambos os lados de
\frac{dT}{dt}+kT=100k
por e^{kt} obtemos
e^{kt}\frac{dT}{dt}+k e^{kt}T = 100k e^{kt}.
Pela observação do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{kt}T(t)\bigr)=100k e^{kt}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em t.
Integramos em relação a t:
e^{kt}T(t)=\int 100k e^{kt}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Para calcular a integral observe que a derivada de e^{kt} é k e^{kt}, logo
\int 100k e^{kt}\,dt = 100\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{kt}\bigr)\,dt = 100 e^{kt}.
Portanto
e^{kt}T(t)=100 e^{kt}+C.

Passo 6

Isolar T(t) e interpretar a constante de integração.
Dividindo por e^{kt} obtemos a solução geral
T(t)=100 + C e^{-kt},
onde C é uma constante arbitrária (determina-se por condição inicial se houver). Observações úteis para a prova:
  • Se for dada T(0)=T_0, então substituindo t=0 T_0=100+C, portanto
C = T_0-100
e a solução fica
T(t)=100 + (T_0-100)e^{-kt}.
  • Comportamento assintótico: se k>0 então e^{-kt}\to 0 quando t\to\infty, logo T(t)\to 100 — isto é, 100 é a solução de equilíbrio (steady state). Se k<0 há crescimento exponencial afastando-se de 100. Se k=0 a equação original reduz a \dfrac{dT}{dt}=0 e T é uma constante arbitrária; a fórmula T(t)=100+Ce^{-kt} com k=0 T(t)=100+C, que é consistente (constante arbitrária).

Resposta

T(t)=100 + C e^{-kt}

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