Resolva a equação de variáveis separáveis:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede resolver essa equação (achar a solução geral). Informações explícitas do enunciado:
- A equação está escrita em forma diferencial com
e . - As funções envolvidas são polinomiais em
multiplicadas por uma exponencial em .
O objetivo é obter a solução geral(ou uma relação implícita entre e ).
Passo 2
Decisão do método e ideia geral (sem resolver ainda). Vou tentar separar as variáveis: a estratégia é reorganizar a equação de modo que todos os termos contendo
(e
) fiquem num lado e todos os termos contendo
(e
) fiquem no outro lado. Se isso for possível, integro cada lado separadamente. Essa técnica chama-se método de variáveis separáveis e funciona quando a equação pode ser colocada na forma
.
Passo 3
Reescrevendo a equação e isolando termos:
passo o termo com
para o outro lado:
Agora divido ambos os lados por
e por
(essas operações são válidas desde que
e
, e
nunca é zero), obtendo termos separados:
Passo 4
Simplifico o integrando em
usando regras de potências:
Portanto a equação separada fica
Agora temos claramente o lado esquerdo dependente só de
e o direito só de
: podemos integrar ambos os lados.
Passo 5
Integro o lado esquerdo. Uso a regra de potência para integrais: para
,
Aplicando a cada termo:
Logo
Passo 6
Integro o lado direito
. Vou usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Escolho
(então
) e
(então
). Assim
Como no nosso caso há um sinal negativo,
Passo 7
Igualo as duas integrais e adiciono a constante de integração
:
Posso multiplicar por
e renomear a constante (
) para deixar o lado esquerdo com sinais positivos, ficando
Uma forma ligeiramente mais compacta, fatorando
no lado direito, é
onde
é constante arbitrária real.
Passo 8
Interpretação final e observação prática: a expressão acima é a solução geral em forma implícita. Para obter
explicitamente em termos de
seria necessário resolver uma equação polinomial de grau 3 em
(pois multiplicando por
aparece um polinômio em
), o que geralmente leva a fórmulas complicadas. Portanto a forma implícita é a forma adequada e aceitável da solução geral:
com
.