Resolva a equação de variáveis separáveis: x y^{4} d x+\left(y^{2}+2\right) e^{-3 x} d y=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y^{4}\,dx + \bigl(y^{2}+2\bigr)e^{-3x}\,dy = 0
e pede resolver essa equação (achar a solução geral). Informações explícitas do enunciado:
  • A equação está escrita em forma diferencial com dx e dy.
  • As funções envolvidas são polinomiais em y multiplicadas por uma exponencial em x.
    O objetivo é obter a solução geral y(x) (ou uma relação implícita entre x e y).

Passo 2

Decisão do método e ideia geral (sem resolver ainda). Vou tentar separar as variáveis: a estratégia é reorganizar a equação de modo que todos os termos contendo y (e dy) fiquem num lado e todos os termos contendo x (e dx) fiquem no outro lado. Se isso for possível, integro cada lado separadamente. Essa técnica chama-se método de variáveis separáveis e funciona quando a equação pode ser colocada na forma g(y)\,dy = h(x)\,dx.

Passo 3

Reescrevendo a equação e isolando termos:
x\,y^{4}\,dx + \bigl(y^{2}+2\bigr)e^{-3x}\,dy = 0
passo o termo com dx para o outro lado:
\bigl(y^{2}+2\bigr)e^{-3x}\,dy = -x\,y^{4}\,dx.
Agora divido ambos os lados por y^{4} e por e^{-3x} (essas operações são válidas desde que y\neq 0 e e^{-3x}\neq 0, e e^{-3x} nunca é zero), obtendo termos separados:
\frac{y^{2}+2}{y^{4}}\,dy = -x\,e^{3x}\,dx.

Passo 4

Simplifico o integrando em y usando regras de potências:
\frac{y^{2}+2}{y^{4}} = y^{-2} + 2y^{-4}.
Portanto a equação separada fica
\bigl(y^{-2} + 2y^{-4}\bigr)\,dy = -x\,e^{3x}\,dx.
Agora temos claramente o lado esquerdo dependente só de y e o direito só de x: podemos integrar ambos os lados.

Passo 5

Integro o lado esquerdo. Uso a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}.
Aplicando a cada termo:
\int y^{-2}\,dy = \frac{y^{-1}}{-1} = -y^{-1}, \qquad \int 2y^{-4}\,dy = 2\cdot\frac{y^{-3}}{-3} = -\frac{2}{3}y^{-3}.
Logo
\int\bigl(y^{-2}+2y^{-4}\bigr)\,dy = -y^{-1} - \frac{2}{3}y^{-3}.

Passo 6

Integro o lado direito \int -x\,e^{3x}\,dx. Vou usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho u=x (então du=dx) e dv=e^{3x}\,dx (então v=\tfrac{1}{3}e^{3x}). Assim
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}.
Como no nosso caso há um sinal negativo,
\int -x e^{3x}\,dx = -\frac{1}{3}x e^{3x} + \frac{1}{9}e^{3x}.

Passo 7

Igualo as duas integrais e adiciono a constante de integração C:
- y^{-1} - \frac{2}{3}y^{-3} = -\frac{1}{3}x e^{3x} + \frac{1}{9}e^{3x} + C.
Posso multiplicar por -1 e renomear a constante ( C\mapsto C_1) para deixar o lado esquerdo com sinais positivos, ficando
y^{-1} + \frac{2}{3}y^{-3} = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C_1.
Uma forma ligeiramente mais compacta, fatorando e^{3x} no lado direito, é
y^{-1} + \frac{2}{3}y^{-3} = \frac{e^{3x}}{9}\,(3x-1) + C_1,
onde C_1 é constante arbitrária real.

Passo 8

Interpretação final e observação prática: a expressão acima é a solução geral em forma implícita. Para obter y explicitamente em termos de x seria necessário resolver uma equação polinomial de grau 3 em z=\dfrac{1}{y} (pois multiplicando por y^{3} aparece um polinômio em y), o que geralmente leva a fórmulas complicadas. Portanto a forma implícita é a forma adequada e aceitável da solução geral:
\frac{1}{y}+\frac{2}{3y^{3}}=\frac{e^{3x}}{9}\,(3x-1)+C,
com C\in\mathbb{R}.

Resposta

\frac{1}{y}+\frac{2}{3y^{3}}=\frac{e^{3x}}{9}\,(3x-1)+C

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