Encontre uma transformada de Laplace inversa de:
Passo 1
Beleza, então a gente tem que encontrar a transformada de Laplace inversa de
Isso faz parte de estudar transformadas de Laplace, principalmente tratando de funções que envolvem um deslocamento no tempo por causa do termo $ e^{-3 s} $. Vamos precisar usar a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte sem o $ e^{-3 s} $. Ou seja, vamos achar a transformada inversa de:
Para isso, a gente pode completar o quadrado no denominador para facilitar.
Passo 3
Completando o quadrado no denominador:
Agora, nossa fração fica:
Podemos reescrever o numerador de forma a separar termos que correspondam às transformadas conhecidas:
Então, a fração fica:
Agora, sabemos que:
- A transformada inversa de $ \frac{s + a}{(s + a)^{2} + b^{2}} $ é $ e^{-a t} \cos(bt) $
- E a transformada inversa de $ \frac{b}{(s + a)^{2} + b^{2}} $ é $ e^{-a t} \sin(bt) $
Aplicando isso aqui, com $ a = 1 $ e $ b = 2 $:
Passo 4
Agora, lembrando do termo inicial $ e^{-3 s} $, que na transformada de Laplace corresponde a um deslocamento no tempo. A propriedade diz que:
Onde $ u(t - a) $ é a função de Heaviside, que é zero para $ t < a $ e 1 para $ t \geq a $.
Então, aplicando isso ao nosso caso, com $ a = 3 $:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de $ G(s) $ é: