Encontre uma transformada de Laplace inversa de:
G(s)=(2 s+7s^2+2 s+5) e^-3 s

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a transformada de Laplace inversa de
G(s) = (2 s + 7s^2 + 2 s + 5) e^-3 s
Isso faz parte de estudar transformadas de Laplace, principalmente tratando de funções que envolvem um deslocamento no tempo por causa do termo $ e^{-3 s} $. Vamos precisar usar a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte sem o $ e^{-3 s} $. Ou seja, vamos achar a transformada inversa de:
e^-3 s
Para isso, a gente pode completar o quadrado no denominador para facilitar.

Passo 3

Completando o quadrado no denominador:
s^2 + 2 s + 5 = (s + 1)^2 + 4
Agora, nossa fração fica:
2 s + 7(s + 1)^2 + 4
Podemos reescrever o numerador de forma a separar termos que correspondam às transformadas conhecidas:
2 s + 7 = 2(s + 1) + 5
Então, a fração fica:
2(s + 1) + 5(s + 1)^2 + 4 = 2 cdot s + 1(s + 1)^2 + 4 + 5(s + 1)^2 + 4
Agora, sabemos que:
  • A transformada inversa de $ \frac{s + a}{(s + a)^{2} + b^{2}} $ é $ e^{-a t} \cos(bt) $
  • E a transformada inversa de $ \frac{b}{(s + a)^{2} + b^{2}} $ é $ e^{-a t} \sin(bt) $
Aplicando isso aqui, com $ a = 1 $ e $ b = 2 $:
s + a(s + a)^2 + b^2

Passo 4

Agora, lembrando do termo inicial $ e^{-3 s} $, que na transformada de Laplace corresponde a um deslocamento no tempo. A propriedade diz que:
e^-3 s
Onde $ u(t - a) $ é a função de Heaviside, que é zero para $ t < a $ e 1 para $ t \geq a $.
Então, aplicando isso ao nosso caso, com $ a = 3 $:
L^-1F(s) e^-a s = u(t - a) f(t - a)

Resposta

A transformada de Laplace inversa de $ G(s) $ é:
G(s)

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