Encontre uma transformada de Laplace inversa de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar a transformada de Laplace inversa de $ W(s) = \frac{1}{s^{2} + 4s - 5} $. Isso está relacionado ao conteúdo de transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar manipular frações algébricas e usar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: $ s^{2} + 4s - 5 $. Para facilitar a transformação, precisamos fatorar esse polinômio. Então, vamos encontrar duas raízes que satisfaçam a equação $ s^{2} + 4s - 5 = 0 $.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 4 $ e $ c = -5 $. Assim:
As raízes são $ s = 1 $ e $ s = -5 $.
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos fatorar o denominador:
Então, nossa função $ W(s) $ fica:
Passo 5
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes $ A $ e $ B $ tais que:
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 1)(s + 5) $, temos:
Passo 6
Para encontrar $ A $ e $ B $, vamos escolher valores de $ s $ que simplificam a equação. Primeiro, deixe $ s = 1 $:
Agora, deixe $ s = -5 $:
Passo 7
Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, a decomposição fica:
Agora, podemos aplicar a transformada de Laplace inversa. Sabemos que:
Resposta
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos: