Determine a transformada de Laplace de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ h(t) $, que é definida de forma diferente em três intervalos de tempo:
Pra resolver isso, vamos usar o conceito de função degrau de Heaviside e as propriedades da transformada de Laplace. Vamos por partes para entender direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ h(t) $ usando os degraus de Heaviside. A ideia é representar as mudanças na função em $ t = 2 $ e $ t = 3 $.
A função pode ser escrita assim:
Aqui, $ u(t - a) $ é o degrau de Heaviside que “liga” a função a partir de $ t = a $.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, calculamos $ 4 - (2t - 8) = 12 - 2t $.
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace para cada termo separado. Lembrando que a transformada de Laplace de $ t \cdot u(t - a) $ é $ e^{-a s} \left( \frac{1}{s^2} + \frac{a}{s} \right) $ e a transformada de $ u(t - a) $ é $ \frac{e^{-a s}}{s} $.
Vamos transformar cada parte:
- Transformada de $ (2t - 8) \cdot u(t - 2) $:
- Transformada de $ (12 - 2t) \cdot u(t - 3) $:
Passo 5
Agora, juntamos todas as partes transformadas:
Passo 6
Podemos fatorar os termos para deixar a expressão mais organizada:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ h(t) $ é: