Determine a transformada de Laplace de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ h(t) $, que é definida de forma diferente em três intervalos de tempo:
h(t)
Pra resolver isso, vamos usar o conceito de função degrau de Heaviside e as propriedades da transformada de Laplace. Vamos por partes para entender direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função $ h(t) $ usando os degraus de Heaviside. A ideia é representar as mudanças na função em $ t = 2 $ e $ t = 3 $.
A função pode ser escrita assim:
h(t)
Aqui, $ u(t - a) $ é o degrau de Heaviside que “liga” a função a partir de $ t = a $.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, calculamos $ 4 - (2t - 8) = 12 - 2t $.
Então, a função fica:
4 - (2t - 8) = 12 - 2t

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace para cada termo separado. Lembrando que a transformada de Laplace de $ t \cdot u(t - a) $ é $ e^{-a s} \left( \frac{1}{s^2} + \frac{a}{s} \right) $ e a transformada de $ u(t - a) $ é $ \frac{e^{-a s}}{s} $.
Vamos transformar cada parte:
  1. Transformada de $ (2t - 8) \cdot u(t - 2) $:
t cdot u(t - a)
  1. Transformada de $ (12 - 2t) \cdot u(t - 3) $:
e^-a s ( 1s^2 + as )

Passo 5

Agora, juntamos todas as partes transformadas:
H(s) = 2 cdot e^-2 ss^2 - 8 cdot e^-2 ss + 12 cdot e^-3 ss - 2 cdot e^-3 ss^2

Passo 6

Podemos fatorar os termos para deixar a expressão mais organizada:
H(s) = 2 e^-2 ss^2 - 8 e^-2 ss + 12 e^-3 ss - 2 e^-3 ss^2

Resposta

A transformada de Laplace da função $ h(t) $ é:
h(t)

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