Sendo a função de transferência:
H(s)=y(s)x(s)=1s^2-1
Qual a equação diferencial que define o sistema?

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos uma função de transferência
H(s)=Y(s)X(s)=1s^2-1
e pede pra achar a equação diferencial que descreve esse sistema.
Isso é conteúdo de sistemas lineares assumindo transformada de Laplace, onde a gente usa a relação “multiplicação por ” em vira derivada no tempo. A gente vai precisar das propriedades básicas da transformada de Laplace e da inversa dela.

Passo 2

Primeiro, escreve a relação de entrada e saída em Y(s)X(s)=1s^2-1:
(s^2-1),Y(s)=X(s),
Isso significa que
Aqui só multipliquei os dois lados por .

Passo 3

Agora lembra que, em transformada de Laplace,
  • s^2Y(s)-Y(s)=X(s) corresponde à transformada de L^-1s^2Y(s)-L^-1Y(s)=L^-1X(s),
  • e corresponde a transformada de .
    Ou seja,

vira, no domínio do tempo,

Passo 4

Fazendo a inversa da Laplace em cada termo, a gente tem:
d^2y(t)dt^2-y(t)=x(t),
E pronto, essa é a equação diferencial que descreve o sistema LTI com função de transferência .

Resposta

A equação diferencial do sistema é
boxedd^2y(t)dt^2 ;-; y(t) ;=; x(t),

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