Encontre a Transformada de Laplace e a Região de Convergência da seguinte função:
u(t)-u(t-1)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que encontrar a Transformada de Laplace de
f(t) = u(t) - u(t-1),
onde Lf(t) = integral0^infty f(t),e^-st,dt, é a função degrau unitário. Então o conteúdo é Transformada de Laplace e região de convergência (ROC). Para resolver, vamos usar a definição de Laplace
e o fato de que subtraindo dois degraus a gente acaba com um pulso que vale 1 entre 0 e 1 e 0 depois disso.

Passo 2

Primeiro, entenda o formato de .
  • Para : e , logo .
  • Para : e , logo .
    É um pulso de amplitude 1 entre 0 e 1.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de Laplace:
Lf(t) = integral0^infty f(t),e^-st,dt = integral0^1 1cdot e^-st,dt
Perceba que o integrando é só até , depois vale zero.

Passo 4

Calcule a integral
integral0^1 e^-st,dt = [ e^-st-s ]0^1 = 1 - e^-ss
Aqui usei a primitiva de que é .

Passo 5

Agora só falta identificar a Região de Convergência. Para o integral
convergir, precisamos de , porque o termo não explode.

Resposta

Transformada de Laplace:
Lu(t)-u(t-1) = 1 - e^-ss
Região de Convergência: .

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