(4.0) Questão 1: Dado o sistema a seguir,
Verifique sua resposta calculando a funçäo de transferência etr malha fechada e calculando a posição dos polos em malha fechada.
c G(s)=6 s(s-2)^2 H(s)=1

Passo 1

Beleza, o exercício tá na área de teoria de controle, mais especificamente sobre sistemas de realimentação (feedback). A gente tem:
G(s)=6s(s-2)^2, H(s)=1
E o que o problema pede é:
  1. Calcular a função de transferência em malha fechada, ou seja
T(s)=G(s)1+G(s)H(s)
  1. Encontrar a posição dos polos dessa malha fechada, que são as raízes do denominador de .
    Pra isso, vamos usar conceitos de soma de frações, expansão de polinômios e a fórmula de Bhaskara pra achar raízes de uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro montamos a fórmula padrão do sistema em malha fechada:
T(s)=G(s)1+G(s)H(s) =6s(s-2)^21+6s(s-2)^2
Pra simplificar, a gente coloca tudo sobre um mesmo denominador T(s) =6s(s-2)^2(s-2)^2(s-2)^2+6s(s-2)^2 =6s(s-2)^2+6s :

Passo 3

Agora vamos expandir (s-2)^2+6s = s^2 - 4s + 4 + 6s = s^2 + 2s + 4 pra ficar bonitinho:
T(s)=6ss^2+2s+4
Então a função fechada é

Passo 4

Os polos em malha fechada são as soluções de
s^2+2s+4=0
A gente usa a fórmula de Bhaskara:
s = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot42cdot1 = -2 pm raiz4 - 162 = -2 pm raiz-122 = -2 pm j,2raiz32 = -1 pm jraiz3

Resposta

Função de transferência em malha fechada:
T(s)=6ss^2+2s+4
Polos em malha fechada:
s1,2 = -1 pm jraiz3

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