Encontre a Transformada de Laplace das seguintes funções:
constante real
Passo 1
O enunciado pede para calcular a Transformada de Laplace da função f(t) = e^{a t}, com a sendo uma constante real. Este conteúdo faz parte de transformadas de Laplace e vamos usar a definição integral para resolver o problema.
Passo 2
Pela definição da Transformada de Laplace, temos
Aqui, f(t)=e^{a t}, então vamos substituir na integral.
Passo 3
Substituindo f(t)=e^{a t} na definição, obtemos
Passo 4
Para resolver essa integral imprópria, primeiro encontramos a primitiva:
Em seguida, aplicamos os limites de 0 a
:
Passo 5
Para que
vá a zero quando
, precisamos de
, ou seja,
. Então o primeiro termo some e o segundo fica:
Portanto, chegamos ao resultado desejado, válido para
.
Resposta
\displaystyle \mathcal{L}{e^{a t}} = \frac{1}{s - a}, \quad s > a.