Encontre a Transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=e^a t, a constante real

Passo 1

O enunciado pede para calcular a Transformada de Laplace da função f(t) = e^{a t}, com a sendo uma constante real. Este conteúdo faz parte de transformadas de Laplace e vamos usar a definição integral para resolver o problema.

Passo 2

Pela definição da Transformada de Laplace, temos
Lf(t) = integral0^infty e^-s t ,f(t),dt
Aqui, f(t)=e^{a t}, então vamos substituir na integral.

Passo 3

Substituindo f(t)=e^{a t} na definição, obtemos
Le^a t = integral0^infty e^-s t cdot e^a t ,dt = integral0^infty e^-(s - a) t ,dt

Passo 4

Para resolver essa integral imprópria, primeiro encontramos a primitiva:
integral e^-(s - a)t ,dt = -1s - a ,e^-(s - a)t
Em seguida, aplicamos os limites de 0 a infty:
limT to infty l(-1s - a e^-(s - a)Tr) - l(-1s - a e^-(s - a)cdot 0r)

Passo 5

Para que e^-(s - a)T vá a zero quando T to infty, precisamos de s - a > 0, ou seja, s > a. Então o primeiro termo some e o segundo fica:
0 + 1s - a = 1s - a
Portanto, chegamos ao resultado desejado, válido para s > a.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}{e^{a t}} = \frac{1}{s - a}, \quad s > a.

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