Questão 4:(Vr. 3,0) a) (1,0 ponto) pulso tringular unitário é definida por
b) Calcule a transformada de Laplace de Lambda(t).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Primeiro, o que a gente tem aqui é um pulso triangular unitário, chamado Lambda(t). Esse tipo de função é usada para representar ondas que aumentam e depois diminuem de forma linear. Para resolver a parte b), que é calcular a transformada de Laplace de Lambda(t), vamos precisar lembrar o que é a transformada de Laplace e como aplicá-la em funções definidas por partes.
Passo 2
A transformada de Laplace, representada por Lf(t), é uma ferramenta que transforma uma função no domínio do tempo (t) para o domínio da frequência (s). A fórmula básica da transformada de Laplace é:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
No nosso caso, a função Lambda(t) é definida por partes, então vamos dividir a integral de acordo com os intervalos onde a função muda de expressão.
Passo 3
Vamos identificar os intervalos onde Lambda(t) é diferente de zero:
De t = 0 a t = 12, a função é 2t.
De t = 12 a t = 1, a função é 2 - 2t.
Fora desses intervalos, a função é zero, então não contribui para a integral.
Portanto, a transformada de Laplace de Lambda(t) será a soma das transformadas nas duas partes onde a função é não nula:
LLambda(t) = integral0^12 e^-s t cdot 2t , dt + integral12^1 e^-s t cdot (2 - 2t) , dt
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^12 2t e^-s t , dt
Usamos a técnica de integração por partes, onde:
u = 2t ⇒ du = 2 , dt
dv = e^-s t , dt ⇒ v = -1s e^-s t
Aplicando a integração por partes:
uv - integral v , du = -2ts e^-s t gr|0^12 + 2s integral0^12 e^-s t , dt