Questão 4:(Vr. 3,0) a) (1,0 ponto) O pulso tringular unitário Lambda(t) é definida por
Lambda(t)=cc 0, & t<0 2 t, & 01
b) Calcule a transformada de Laplace de Lambda(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Primeiro, o que a gente tem aqui é um pulso triangular unitário, chamado Lambda(t). Esse tipo de função é usada para representar ondas que aumentam e depois diminuem de forma linear. Para resolver a parte b), que é calcular a transformada de Laplace de Lambda(t), vamos precisar lembrar o que é a transformada de Laplace e como aplicá-la em funções definidas por partes.

Passo 2

A transformada de Laplace, representada por Lf(t), é uma ferramenta que transforma uma função no domínio do tempo ( t) para o domínio da frequência ( s). A fórmula básica da transformada de Laplace é:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
No nosso caso, a função Lambda(t) é definida por partes, então vamos dividir a integral de acordo com os intervalos onde a função muda de expressão.

Passo 3

Vamos identificar os intervalos onde Lambda(t) é diferente de zero:
  1. De t = 0 a t = 12, a função é 2t.
  2. De t = 12 a t = 1, a função é 2 - 2t.
  3. Fora desses intervalos, a função é zero, então não contribui para a integral.
Portanto, a transformada de Laplace de Lambda(t) será a soma das transformadas nas duas partes onde a função é não nula:
LLambda(t) = integral0^12 e^-s t cdot 2t , dt + integral12^1 e^-s t cdot (2 - 2t) , dt

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^12 2t e^-s t , dt
Usamos a técnica de integração por partes, onde:
  • u = 2t du = 2 , dt
  • dv = e^-s t , dt v = -1s e^-s t
Aplicando a integração por partes:
uv - integral v , du = -2ts e^-s t gr|0^12 + 2s integral0^12 e^-s t , dt
Calculando:
-2 cdot 12s e^-s cdot 12 + 2s ( 1 - e^-s cdot 12s ) = -1s e^-s2 + 2s^2 (1 - e^-s2 )
Segunda integral:
integral12^1 (2 - 2t) e^-s t , dt = 2 integral12^1 e^-s t , dt - 2 integral12^1 t e^-s t , dt
Vamos resolver cada parte:
Para integral e^-s t , dt:
-1s e^-s t gr|12^1 = -1s ( e^-s - e^-s2 ) = 1s ( e^-s2 - e^-s )
Para integral t e^-s t , dt, novamente usamos integração por partes:
  • u = t du = dt
  • dv = e^-s t , dt v = -1s e^-s t
Então:
uv - integral v , du = -ts e^-s t gr|12^1 + 1s integral12^1 e^-s t , dt
Calculando:
-1s e^-s + 12s e^-s2 + 1s^2 ( e^-s2 - e^-s )
Multiplicando por -2:
2s ( e^-s2 - e^-s ) - 2s^2 ( e^-s2 - e^-s ) + 2s e^-s - 1s e^-s2

Passo 5

Somando as duas integrais que calculamos:
LLambda(t) = ( -1s e^-s2 + 2s^2 (1 - e^-s2 ) ) + ( 1s ( e^-s2 - e^-s ) + 2s^2 (1 - e^-s2 ) )
Simplificando os termos:
LLambda(t) = 2s^2 (1 - e^-s2 ) + 1s ( e^-s2 - e^-s )

Resposta

A transformada de Laplace de Lambda(t) é:
LLambda(t) = 2s^2 (1 - e^-s2) + 1s (e^-s2 - e^-s)

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