Encontre a transformada de Laplace para as seguintes funções (para t >= 0 ) utilizando uma tabela de transformadas (disponível no AVA) e as transformadas desenvolvidas em sala.
f(t)=t e^alpha t

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente achar a transformada de Laplace da função
f(t)=t,e^alpha t,; t>=0
Isso cai em “Transformada de Laplace” dentro de Equações Diferenciais/Análise de Sistemas. A gente vai usar:
  1. a definição básica de transformada de Laplace;
  2. a propriedade que relaciona multiplicação por no tempo com derivada em ;
  3. a tabela de transformadas (ou seja, a transformada de ).

Passo 2

Antes de sair aplicando fórmulas, lembra da definição:
Lf(t)(s)=integral0^infty f(t),e^-s t,dt
Mas em vez de fazer essa integral complicada direto, a gente usa resultados prontos da tabela e propriedades.

Passo 3

Da tabela sabemos que
Le^alpha t(s) = 1s-alpha, para Re(s) > alpha
E tem outra propriedade importante:
se Lt,f(t)(s) = -ddsl[F(s)r] , então
Ou seja, multiplicar por no domínio do tempo vira derivada em no domínio da frequência, com sinal negativo.

Passo 4

No nosso caso, Lt,e^alpha t(s) = -dds!l[1s-alphar] tem transformada dds!l[1s-alphar] = -1(s-alpha)^2 .
Aí, para Lt,e^alpha t(s) = -l(-1(s-alpha)^2r) = 1(s-alpha)^2 , aplicamos direto a propriedade:
Agora é só derivar em :
Como tem um menos na frente, fica

Resposta

boxed Lt,e^alpha t(s) = 1(s-alpha)^2, para Re(s)>alpha

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